Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. f(x) непрерывна в точке xо xо X >0, а значит и для

f(x) непрерывна в точке x_о x_о X >0, а значит и для >0 0 x (x X, │x - х_о│< │f(x) –f(x_о)│< = f(x_о) – <f(x)< f(x_о)+ .

1. Пусть f(x_о)>0 │f(x_о)│= f(x_о).

Тогда x (x_о – , x_о+ ) X: f(x_о) – <f(x)< f(x_о)+ < f(x_о) x (x_о – , x_о+ ) X: f(x)>0.

2. Пусть f(x_о)<0 │f(x_о)│= –f(x_о).

x (x_о – , x_о+ ) X: f(x_о)+ <f(x)< f(x_о) – <0 f(x_о)< f(x)< <0.

Теорема 4. (О локальной ограниченности непрерывной функции.)

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X и непрерывна в точке x_о.

Тогда существует такая окрестность точки x_о, в которой f(x) ограничена.

Доказательство.

f(x) непрерывна в точке x_о x_о X, >0, а значит и для =1>0, = (1)>0 x (x X, │x - х_о│< ): │f(x) –f(x_о)│< =1 f(x_о) –1<f(x)< f(x_о)+1.

Положим А=f(x_о) –1, В=f(x_о)+1.

Тогда x (x_о – , x_о+ ) X: А f(x) В f(x) ограничена на множестве x_о – , x_о+ ) X.

Множество (x_о – , x_о+ ) X является окрестностью точки x_о, может быть и односторонней, так как X – стандартная область определения.