Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Для определённости будем считать, чтоf(x) строго возрастает на X, то есть x1, x2 X, x1<x2: f(x1)< f(x2).

Для определённости будем считать, чтоf(x) строго возрастает на X, то есть x₁, x₂ X, x₁<x₂: f(x₁)< f(x₂).

Докажем, что f(x) непрерывна на X.

Предположим противное, то есть что x_о X такое, что f(x) терпит разрыв в точке x_о. По теореме 1, точка разрыва x_о является точкой разрыва 1-го рода.

x_о X f(x)=L₁= sup _X1f(x)

f(x)=L₂= inf _X2 f(x) и L₁ L₂.

Но так как L₁ f(x_о) L₂, то предполагается, что

1) L₁< f(x_о).

Возьмём точку x₁ X₁. Тогда y₁= f(x₁) L₁< f(x_о). y₁= f(x₁)<y_о= f(x_о) (y₁, y_о) Y={y; y=f(x), x X}.

Возьмём произвольную точку y (y₁, y_о) и L₁<y <f(x_о)= y_о.

В самом деле, f(x) строго возрастает x X₁: f(x) L₁<y

x X₂: f(x)> f(x_о)= y_о>y.

Но это невозможно, так как Y={f(x), x X} – промежуток L₁=f(x_о).

2) Пусть f(x_о)< L₂ = f(x)= inf _X2 f(x).

Возьмём некоторое x₂ X₂={x; x>х_о}

y₂=f(x₂) Y весь интервал (y_о, y₂) Y.

Рассмотрим точку y (y_о, y₂) и f(x_о)< y<L₂.

Проверим, что x X: f(x) y. В самом деле, x X₁: f(x)< f(x_о)<y.

x X₂: f(x_о)<y<L₂ f(x).

Но это невозможно, так как Y промежуток.

А тогда f(x_о)= L₂.

И мы получаем L₁= f(x_о)=L₂ f(x)= f(x_о)= f(x) f(x)= f(x_о).

х_о X и f(x)= f(x_о).