|
Читайте также: |
а) Пусть f(x) возрастает на X 
x´, x´´ 
X (x´< x´´): f(x´) 
f(x´´) и пусть xо – внутренняя точка промежутка X.
Рассмотрим множества
X1={x; x X: x< xо}; Y1={f(x), x X1}
X2={x; x X: x> xо}; Y2={f(x), x X2}
Множество Y1 ограничено сверху, так как x X1: f(x) f(xо) и, следовательно, Y1 имеет точную верхнюю грань L1= sup X1 f(x)= sup Y1.
А множество Y2 ограничено снизу, так как x X2: f(xо) f(x) и L2= inf X2 f(x)= inf Y2.
Так как f(xо) является одной из верхних границ множества Y1 и одной из нижних границ множества Y2, то L1 f(xо) L2.
Докажем, что
1. L1= 
f(x)
2. L2= 
f(x)
Возьмём произвольное 
>0 и зафиксируем его.
1. Так как L1= sup X1 f(x) 1) x X1: f(x) L1
2) 
>0, а значит и для нашего фиксированного >0 
X1: f(
)> L1– . 
L1 – 
<2)f() 1) L1< L1+ .
Тогда x X1, <x< xо (x (, xо)) в силу возрастания функции f(x) на X: f() f(x) L1 f(xо) x X 
(, xо): L1– <f() f(x) L1< L1+ .
Положим 
1= 1()= xо – 
>0 (ибо = ()).
Тогда 
>0 
1>0 x (x X1, x< xо, │x - хо│< 
1): │f(x) –L1│< f(x)=L1.
2. Так как L2= inf X2 f(x) 
1) x X2: L2 f(x)
>0, а значит и для нашего фиксированного >0 
X2: f(
)< L2+ L2– 
1) L2<f()<2) L2+ А тогда в силу возрастания функции f(x) на X x X2, xо<x< (x (xо, ())
L2– <L2 1) f(x) 
f()<2) L2+ .
Положим 2= 2()= 
() –xо>0.
Тогда >0 
2>0 x (x X2, x>xо, │x - хо│< 2): L2– <f(x)< L2+ │f(x) –L2│< L2= f(x).
б) Пусть f(x) убывает на X. Рассмотрим функцию –f(x). Она возрастает на X. Тогда по доказанному в п.а) у неё есть односторонние пределы в любой внутренней точке промежутка X, а функция f(x) отличается от –f(x) только постоянным множителем (–1) f(x) имеет односторонние пределы в каждой внутренней точке промежутка.
Теорема 2. (Достаточные условия непрерывности строго монотонной функции.)
Пусть f(x) определена на промежутке X. Строго монотонна на X и Y={y; y=f(x), x X} - промежуток.
Тогда f(x) непрерывна на X.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 125 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |