Читайте также: |
|
1. Необходимость.
Пусть f(х)= L. Обозначим f(х)- L =
(х)
х
Х: f(х)= L+
(х).
Докажем, что (х)=0.
Действительно, f(х)=(К) L
0
>0
х (
х
Х, х
хо,
│x - хо│<
): │
(х)│=│f(х)- L│<
(х)=0.
2. Достаточность.
Дано: х
Х: f(х)= L+
(х), где
(х)=0.
Докажем, что f(х)= L.
По условию, х
Х: f(х)= L+
(х), то
(х)= f(х)- L
и т.к. (х)=0
0
>0
х (
х
Х, х
хо,
│x - хо│<
): │
(х)│= │f(х)- L│<
f(х)= L.
Теорема 6. (об устойчивости знака функции, имеющей в точке предел)
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет предел в точке хо равный L 0.
Тогда -окрестность точки хо такая, что на множестве {(хо-
, хо)}
{(хо, хо+
)}
Х функция f(х) имеет тот же знак, что и L.
Доказательство.
Пусть f(х)= L, L
0. Возьмём
=
>0.
Тогда 0, а значит и для
=
>0,
>0
х (
х
Х, х
хо,
│x - хо│<
):│ f(х)- L│<
=
L
<f(х)< L+
1) Пусть L>0 │L│=L.
Тогда х {(хо-
, хо)}
{(хо, хо+
)}
Х: 0<L-
=
<f(х)< L+
0<
<f(х)
f(х)>0.
2) Пусть L<0. │L│= - L.
х
{(хо-
, хо)}
{(хо, хо+
)}
Х: L+
<f(х)<L-
L<
f(х)<0
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 121 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |