Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Пусть f(х)= L. Обозначим f(х)- L = (х)

1. Необходимость.

Пусть f(х)= L. Обозначим f(х)- L = (х) х Х: f(х)= L+ (х).

Докажем, что (х)=0.

Действительно, f(х)=^(К) L 0 >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ): │ (х)│=│f(х)- L│< (х)=0.

2. Достаточность.

Дано: х Х: f(х)= L+ (х), где (х)=0.

Докажем, что f(х)= L.

По условию, х Х: f(х)= L+ (х), то (х)= f(х)- L

и т.к. (х)=0 0 >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ): │ (х)│= │f(х)- L│< f(х)= L.

Теорема 6. (об устойчивости знака функции, имеющей в точке предел)

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет предел в точке х_о равный L 0.

Тогда -окрестность точки х_о такая, что на множестве {(х_о- , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х функция f(х) имеет тот же знак, что и L.

Доказательство.

Пусть f(х)= L, L 0. Возьмём = >0.

Тогда 0, а значит и для = >0, >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ):│ f(х)- L│< = L <f(х)< L+

1) Пусть L>0 │L│=L.

Тогда х {(х_о- , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: 0<L- = <f(х)< L+ 0< <f(х) f(х)>0.

2) Пусть L<0. │L│= - L.

х {(х_о- , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: L+ <f(х)<L- L< f(х)<0