Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Производная сложной и обратной функций.

1. Производная сложной ф-ции.

Пусть переменная есть функция от переменной переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной ,т.е. задана сложная функция .

Теорема. Если - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции существует по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной ,т.е. .

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции соответственно получат приглашение

Предположим, что Тогда в силу дифференцируемости функции можно записать

Где

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций , откуда

Это равенство будет справедливо и при , если полагать, что (т.е. доопределит таким образом функцию при

Разделив обе части равенства: на

.

Т.к. по условию функция

Поэтому, переходя к пределу при в равенстве получим

.

Замечание. Если ограничиться случаями, что при , доказательство теоремы можно провести проще, исходя из очевидного равенства

и переходя в нём к пределу при ч.т.д.