Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Реактор идеального смешения

Для модели идеального смешения принимается ряд допуще­ний. Допускается, что в результате интенсивного перемешивания устанавливаются абсолютно одинаковые условия в любой точке реактора: концентрации реагентов и продуктов, степени превра­щения реагентов, температура, скорость химической реакции и т.д. Например, в некоторый момент времени τ, во всех точках ректора (рис. 10.1) выполняются следующие условия:

где x, y, z – пространственные координаты.

В проточном реакторе идеального смешения концентрации участников реакции в выходном потоке в рассматриваемый момент времени τ строго равны концентрациям тех же веществ в реакторе.

Чтобы перечисленные допущения могли быть выполнены, необ­ходимо принять еще одно допущение: переход от одной концент­рации к другой в реакторе идеального смешения не должен иметь протяженности во времени. Изменение концентрации исходного реагента от начальной C_j,0 во входном потоке в данный момент времени τ, до концентрации в реакторе C_j в этот же момент времени должно происходить мгновенно (скачкообразно).

Приблизиться к режиму идеального смешения можно, обеспе­чив интенсивное перемешивание реакционной смеси механиче­скими мешалками разного типа или циркуляционными насосами, создающими высокую кратность циркуляции. Смешение, близкое к идеальному, легче выполнить в емкостных аппаратах с прибли­зительно равными диаметром и высотой.

Так как в реакторе идеального смешения концентрации участ­ников реакции равномерно распределены по объему, то уравнение материального баланса (10.1), выведенное для элементарного объ­ема, можно распространить на полный объем реактора.

Рассмотрим два частных случая: периодический реактор иде­ального смешения и проточный реактор идеального смешения, работающий в стационарном режиме.

Периодический реактор идеального смешения.

В периодический реактор все реагенты вводят до начала реакции, а все продукты выводят из него только по окончании процесса. В ходе реакцион­ного цикла никаких веществ в реактор не вводят и из него не выводят, так что общая масса реакционной смеси в реакторе оста­ется постоянной, изменяется лишь ее состав.

При составлении математического описания принимают, что реакционная смесь однородна по объему аппарата и ее состав зависит только от вре­мени пребывания в периодическом реакторе.

Рис 10.1. Схемы реакторов идеального смешения

с механическим переме­шивающим устройством (а) и циркуляционным контуром (б)

Из общего уравнения материального баланса (10.1) в случае периодического реактора идеального смешения можно исключить два первых оператора, описывающих явления конвективного и диф­фузионного переноса вещества в аппарате. При отсутствии пере­мещения потока через реактор в произвольный момент времени между началом и окончанием процесса средняя линейная скорость элемента потока равна нулю, следовательно, и конвективный пе­ренос в непроточном реакторе отсутствует. Заключение об отсут­ствии диффузионного переноса вытекает из допущений модели идеального смешения, так как диффузия возможна лишь при нали­чии градиента концентраций, а при равномерном распределении концентраций по объему он равен нулю. Этот вывод справедлив не только для периодического, но и для проточного реактора иде­ального смешения.

Следовательно, уравнение материального баланса для перио­дического реактора идеального смешения примет вид

(10.2)

В уравнении (10.2) частная производная заменена на полную, так как в соответствии с допущениями идеального смешения кон­центрация C_J внутри реактора является функцией только одной переменной - времени.

Уравнение материального баланса периодического реактора идеального смешения (10.2) совпадает с уравнением, дающим определение скорости химического превращения. Из одинакового вида уравнений косвенно можно сделать вывод, что гидродинами­ческая обстановка в периодическом реакторе идеального смеше­ния не накладывает ограничений на химическую кинетику.

Для проведения расчетов по уравнению (10.2) в его левую часть вместо w_r,J (C_J) вводят конкретное кинетическое уравнение. Тогда можно рассчитать, например, время реакционного цикла, необхо­димое для достижения заданной глубины превращения (заданной конечной концентрации C_J,f):

(10.3)

Если вещество J — исходный реагент, то концентрацию Cj мож­но выразить через его степень превращения:

C_J=C_J,0(1 – X_J)

Продифференцировав это выражение, получим

dC_J = - C_J,0∙dX_J

и уравнение (10.3) примет вид

(10.4)

Уравнения (10.3) и (10.4) позволяют также рассчитать зависи­мость концентрации реагента C_J или его степени превращения X_J от времени пребывания в реакторе (продолжительности реакци­онного цикла). В разные моменты времени условия в периодиче­ском реакторе различные (концентрация реагентов, продуктов, скорость реакции и т. д.), однако в каждый данный момент време­ни из-за допущения об идеальности эти параметры строго одина­ковы в объеме реактора (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Изменение концентра­ции исходного реагента в перио­дическом реакторе идеального смешения

во времени (а) и по объему аппарата (б)

Время, рассчитанное по уравнению (10.3) или (10.4), является «чистым» временем, необходимым для проведения химического превращения. Однако для осуществления процесса в периодиче­ском реакторе кроме этого «реакционного» времени нужно затра­тить вспомогательное время на загрузку реагентов, выведение ре­актора на нужный технологический режим, разгрузку и очистку. Полное время одного цикла работы периодического реактора сум­мируется, таким образом, из основного τ_хр и вспомогательного τ_всп.

τ_Σ = τ_хр + τ_всп

Наличие τ_всп как составной части времени цикла приводит к сни­жению производительности химического реактора (количество продукта, получаемого в единицу времени) и является одним из существенных недостатков периодических процессов вообще. Дру­гие их недостатки – большие затраты ручного труда, сложность решения задач автоматизации (так как условия в реакторе во вре­мени постоянно меняются).

Однако периодические реакторы обычно можно приспособить к широкому диапазону условий реакций, что удобно при необ­ходимости производить на одной установке различные химиче­ские продукты, например, в промышленности химических реак­тивов. Периодические реакторы с интенсивным перемешиванием, приближающимся к идеальному смешению, применяют в произ­водствах реактивов, органических красителей, лекарственных пре­паратов – там, где для достижения достаточной глубины пре­вращения требуется сравнительно длительное время, а объемы производства невелики.

Периодические реакторы смешения часто применяют в микробиологической промышленности для культивирования аэроб­ных микроорганизмов. Процесс культивирования для большин­ства микроорганизмов длится 48÷72 ч, т. е. достаточно длителен. Интенсивное перемешивание в ферментаторе позволяет обеспе­чить равномерное распределение температуры, что особенно важно в таких процессах, так как даже небольшие локальные разогревы могут привести к гибели микроорганизмов. Изолированность реакционной системы в периодическом реакторе позволяет устранить опасность отравления микроорганизмов случайными примесями, которые могут попасть в аппарат при непрерывной подаче реагентов.

Окончательное решение о целесообразности применения пе­риодического или непрерывного процесса можно вынести лишь на основании экономической оценки (сравнения расходов на экс­плуатацию, амортизацию, электроэнергию, пар, сырье и т. д.). Как правило, при проведении такого сравнения оказывается, что пе­риодические процессы выгодны при относительно невысокой производственной мощности в тех случаях, когда получают дорого­стоящие продукты.

Проточный реактор идеального смешения в стационарном режиме.

Если необходимо обеспечить получение большого количества про­дукта одинакового качества, химический процесс предпочитают проводить в непрерывнодействующих реакторах с установившим­ся режимом. Распространенным видом таких проточных аппара­тов являются реакторы смешения. Проточный реактор смешения может работать как в нестационарном режиме (пуск, выход на ре­жим, остановка), так и в стационарном, установившемся режиме.

Рассмотрим уравнение материального баланса для стационар­ного проточного реактора идеального смешения без циркуляции. Получим его, опять упрощая общее уравнение материального ба­ланса (10.1). Для любого реактора идеального смешения и, в част­ности, для проточного, из уравнения можно исключить оператор, описывающий диффузионный перенос. При стационарном режи­ме работы реактора из уравнения исключается производная dc_J/dx, не равная нулю только при наличии накопления вещества в реакторе.

Таким образом, в уравнении остаются только два члена, опи­сывающие конвективный перенос вещества J и расход или образо­вание этого вещества в ходе химической реакции. Оператор конвективного переноса (переноса импульса), запи­санный в уравнении (10.1) в дифференциальной форме, можно представить для проточного реактора идеального смешения в ко­нечно-разностной форме. В соответствии с допущениями модели идеального смешения в проточном реакторе происходит дискрет­ное конечное (а не бесконечно малое) изменение концентрации Δ C_J сразу же на входе в реактор. Заменим поэтому градиент концентрации на отношение конечного изменения концентрации Δ C_J к изменению координаты Δz при прохождении реакционного по­тока через реактор со средней линейной скоростью ū. Среднюю линейную скорость потока можно заменить через отношение объемного расхода v через реактор к площади поперечного сече­ния F. Тогда, с учетом того, что произведение FΔz равно объему реактора V, член уравнения, описывающий конвективный пере­нос, примет вид

(10.5)

В выражении (10.5) Δ C_J равно разности концентраций на выходе из реактора C_J и на входе в реактор C_J,0. Окончательно уравнение материального баланса проточного стационарного реактора иде­ального смешения можно представить так:

или

(10.6)

Величина в уравнении (10.6) измеряется в единицах времени и характеризует среднее время, в течение которого обновляется содержимое проточного реактора. Эту величину называют средним временем пребывания реагентов в проточном реакторе.

Действительное время пребывания частиц в проточном реакторе смешения является случайной величиной в отличие от времени пребывания реагентов в периодическом реакторе. Пусть, например, в реактор введено N одинаковых частиц. В периодическом реакторе все они будут находиться равное время от загрузки до выгрузки. В проточном реакторе идеального смешения эти частицы мгновенно и равномерно распределяются по всему объему аппарата, и так как из аппарата непрерывно выходит поток продуктов, то в момент ввода частиц в реактор какое-то их количество может сразу же оказаться в выходном потоке. Некоторые частицы, равномерно распределяясь в новых порциях реакционной смеси, вошедшей в аппарат, могут находиться в нем бесконечно долго. Отсюда можно сделать вывод, что действительное время пребывания частиц в проточном реакторе – это случайная величина, которая может изменяться от 0 до ∞. Непрерывную случайную величину можно задать с помощью вероятностных характеристик, в частности функций распределения случайной величины. Использование в качестве характеристики времени пребывания частиц в проточном реакторе величины является удобным способом усреднения действительного времени пребывания, так как эта величина связана с конструктивными характеристиками реактора: его объемом и объемным расходом реакционной смеси.

Для решения практических задач удобно концентрацию реагента C_J,f выразить через его степень превращения X_J,f:

(10.7)

Уравнения материального баланса (10.6) и (10.7) для проточного реактора идеального смешения в стационарном режиме имеют ряд отличий от соответствующих уравнений для периодического реак­тора (10.3) и (10.4).

Следует отметить, что балансовые уравнения стационарного реактора идеального смешения записываются сра­зу в виде конечного алгебраического уравнения в отличие от диф­ференциальной формы исходных уравнений для периодического реактора.

В уравнение для периодического реактора скорость w_rJ (C_J) следует подставлять в виде функциональной зависимости от концентра­ции w_rJ (C_J) или степени превращения w_rJ (X_J) и лишь после интегри­рования уравнения возможна подстановка числовых значений. Этот факт, как и дифференциальная форма уравнений материаль­ного баланса, отражает зависимость параметров процесса в перио­дическом реакторе от времени. В стационарном режиме в любой точке реактора идеального смешения в любой момент времени концентрация постоянна. Следовательно, скорость реакции харак­теризуется каким-то одним конкретным числовым значением, определяемым этой концентрацией. Это число может быть сразу поставлено в уравнение материального баланса.

Пример 10.1.

Рассчитать среднее время пребывания реагентов в про­точном реакторе идеального смешения, необходимое для достижения сте­пени превращения исходного реагента X_A = 0,8.

В реакторе протекает реакция второго порядка 2А → R + S, скорость которой описывается при постоянной температуре кинетическим уравне­нием w_r,A = 2,5C_A². Начальная концентрация реагента А на входе в реактор С_A,0 = 4 кмоль/м³.

Решение.

Для определения можно использовать уравнение (10.7). Для расчета скорости протекающей в реакторе реакции, выразим концентрацию реагента через его начальную концентрацию и степень превращения:

С_А,0∙Х_А = 0,8С_А,0

С_А = С_А,0(1 - Х_А)

w_r,A = kC_A² = 2,5C_A,0²(1 – X_A)² = 2,5∙ C_A,0²(1 – 0,8)² = 0,1 C_A,0²

Подставим полученные значения в (10.7), получим

= 0,8С_А,0/0,1 C_A,0² = 8/С_А,0 = 8/4 = 2 часа

Таким образом, для достижения требуемой конверсии необходимо чтобы соотношение рабочего объема реактора и объемного расхода исходной реакционной смеси составляло величину равную 2 часам.

Уравнения материального баланса для проточного реактора могут быть использованы не только для определения среднего вре­мени пребывания и затем размеров реакционного пространства (V = v) при заданной глубине химического превращения, но и для решения обратной задачи: при заданных объеме реактора и производительности по исходному реагенту (пропорциональной объемному расходу v) определить концентрацию реагентов на вы­ходе из реактора. Решение этой задачи не вызывает никаких затруднений, если скорость реакции описывается сравнительно простыми кинетическими уравнениями (уравнениями первого и второго порядка).

Например, для реакции первого порядка А → R из уравнения материального баланса (10.6) следует:

, используя это уравнение, получим:

Очень часто скорость сложных реакций с невыясненным механизмом выражают в виде кинетических уравнений дробно­го порядка. В этом случае аналитическое решение оказывается невозможным и приходится прибегать к численным методам рас­чета. В качестве примера рассмотрим весьма наглядный графиче­ский метод определения концентрации реагентов на выходе из ста­ционарного проточного реактора идеального смешения.

Запишем уравнение материального баланса (10.6)в следующем виде:

(10.8)

Уравнение (10.8)представляет собой равенство двух разных функций от концентрации. В левой части уравнения записана функция w_r,А (C_А), представляющая собой кинетическое уравнение реакции. В соответствии с законом действующих масс скорость химических реакций пропорциональна концентрациям реагентов, следовательно, w_r,А (C_А) – это возрастающая функция, которую лег­ко представить графически (рис. 10.3, линия 1). Она пересекает ось абсцисс в точке, соответствующей равновесной концентрации С_А,е, для обратимых реакций, или исходит из начала координат в слу­чае необратимых реакций.

Рис. 10.3. Зависимость скорости реакции от концентрации реагента

на выходе из про­точного реактора идеального смешения,

используемая для определения конечной концентрации

В правой части уравнения (10.8)записана, соответствующая уравнению материального баланса стационарного реактора идеального смешения, функциональная зависимость скорости реакции ­от концентрации исходного реагента, имеющая отрицательный угловой коэффициент tgα = (-1/ ). График этой зависимости – прямая линия, пересекающая ось абсцисс в точке С_А = С_А,0 (линия 2).

Уравнению (10.8)удовлетворяют такие значения концентраций С_А, при которых значения функций, стоящих в левой и правой частях этого уравнения, равны. Или, по-другому, такие значения концентрации, при которых графики этих функций пересекаются. Как видно линии 1 и 2 пересекаются в единственной точке М. Абсцисса этой точки, и есть искомая концентрация реагента на выходе из реактора идеального смешения.

Реактор идеального вытеснения

Реактор идеального вытеснения, обычно, представляет собой длинный
канал, через который реакционная смесь движется в поршневом режиме (рис. 10.4). Каждый элемент потока, условно выделенный между двумя плоскостями перпендикулярными оси канала, движется через него как твердый поршень, вытесняя предыдущие элементы потока и не перемешиваясь ни с предыдущими, ни со следующими за ним элементами.

Естественно, что при проведении химической реакции, например реакции, в которой участвуют два или более реагентов, перемешивание участников реакции является необходимым условием ее осуществления, иначе невозможным будет контакт между разноименными молекулами, в результате которого и происходит элементарный акт реакции.

Рис. 10.4. Схема реактора идеального вытеснения

Если в реакторе идеального смешения перемешивание носит глобальный характер и, благодаря этому, параметры процесса полностью выравниваются по объему аппарата, то в реакторе идеального вытеснения перемешивание является локальным, оно происходит в каждом элементе потока, а между соседними по оси реактора элементами, как уже указывалось, перемешивания нет.

Идеальное вытеснение возможно при выполнении следующих допущений:

1) движущийся поток имеет плоский профиль линейных скоростей;

2) отсутствует обусловленное любыми причинами пе­ремешивание в направлении оси потока;

3) в каждом отдельно взятом сечении, перпендикулярном оси потока, параметры про­цесса (концентрации, температуры и т.д.) полностью выровнены.

Необходимо отметить, что строго эти допущения в реальных реак­торах не выполняются. Из гидравлики известно, что даже в очень гладких каналах при движении потока, характеризующегося высо­кими числами Рейнольдса Re, у стенок канала существует так на­зываемый пограничный вязкий подслой, в котором градиент ли­нейной скорости очень велик. Сравнивая профили скоростей при различных потоках (рис. 10.5) видно, что максимально приблизить­ся к идеальному вытеснению можно лишь в развитом турбулент­ном режиме.

Рис. 10.5. Профили линейных скоростей потока при ламинарном (а),

раз­витом турбулентном (б) и идеальном поршневом (в) режимах течения жидкости

Однако турбулентный поток характеризуется наличием нере­гулярных пульсаций, носящих хаотичный характер, в результате чего некоторые частицы потока могут опережать основной поток или отставать от него, т. е. произойдет частичное перемешивание в осевом направлении. Конечно, абсолютные значения таких пе­ремещений будут невелики по сравнению с основным осевым перемещением потока и, при больших линейных скоростях, ими можно пренебречь. В то же время турбулентные пульсации в ради­альном направлении будут способствовать локальному перемеши­ванию реагентов и выполнению третьего допущения.

В реальном реакторе можно приблизиться к режиму идеально­го вытеснения, если реакционный поток – турбулентный и при этом длина канала существенно превышает его поперечный раз­мер (например, для цилиндрических труб L/D > 20).

В соответствии с принятыми допущениями общее уравнение материального баланса (10.1) для элементарного объема проточного реактора можно упростить. Прежде всего, в качестве элементарного объема в этом случае можно рассматривать объем, вырезанный двумя параллельными плоскостями, находящимися друг от друга на бесконечно малом расстоянии dz и перпендикулярными оси канала Z (см. рис. 10.4). В этом элементарном объеме в соответствии с третьим допущением ∂C_J/∂х = 0 и ∂C_J/∂y = 0. Следовательно, конвективный перенос происходит только в направлении оси Z. В соответствии со вторым и третьим допущениями диффузион­ный перенос в реакторе идеального вытеснения отсутствует (как и в реакторе идеального смешения). Следовательно, уравнение (10.1) для реак­тора идеального вытеснения, в нестационарном режиме работы, примет вид:

(10.9)

Из уравнения (10.9) видно, что в нестационарном реакторе иде­ального вытеснения концентрация участника реакции C_J является функцией двух переменных: координаты z и времени τ. При ста­ционарном режиме уравнение будет еще более простым (в этом случае концентрация является только функцией координаты z):

(10.10)

В реакторе с постоянной площадью поперечного сечения ка­нала линейная скорость потока u_z будет величиной постоянной, равной отношению объемного расхода v к площади сечения F (и_z = v/F). Тогда, с учетом того, что F∙z / v = V / v = уравнение (10.10) можно записать в таком виде:

(10.11)

Следует еще раз обратить внимание на то, что величина (среднее время пребывания реагентов в проточном реакторе, ха­рактеризующее для реактора вытеснения продолжительность про­хождения потоком расстояния от входа в реактор до некоторой точ­ки z на оси реактора) по физическому смыслу отличается от величи­ны τ в правой части уравнения (10.9) – времени, в течение которого в некоторой фиксированной точке внутри реактора происходит изменение параметров процесса. Условно можно рассматривать как некоторую «внутреннюю» характеристику реактора, непосредст­венно связанную с его размерами, а τ – как «внешнюю» характерис­тику, никак не зависящую от конструктивных особенностей реактора.

Говоря о среднем времени пребывания для реактора идеаль­ного вытеснения, следует помнить, что в силу первого допущения о плоском профиле линейных скоростей действительное время пребывания всех частиц потока в аппарате будет одинаковым и как раз равным , однако для единообразия в дальнейшем для всех проточных реакторов, и в том числе для реактора идеального вытеснения, будем использовать , как удобную характеристику, пропорциональную объему реактора.

Уравнение (10.11) для стационарного режима реактора идеаль­ного вытеснения можно проинтегрировать относительно :

(10.12)

или, если J – исходный реагент,

(10.13)

Уравнения (10.12), (10.13) по виду напоминают уравнения (10.3), (10.4) для периодического реактора идеального смешения.

Если считать, что элементарный объем dV, для которого со­ставлялся материальный баланс, может двигаться вместе с пото­ком, в поршневом режиме он может рассматриваться как своеоб­разный периодический микрореактор идеального смешения, время проведения реакции в котором равно среднему времени пребыва­ния реагентов в реакторе идеального вытеснения.

Уравнения (10.12) и (10.13) могут быть использованы для расчета размеров изотермического реактора идеального вытеснения и глу­бины протекающего в нем процесса.

Пример 10.2.

Определить среднее время пребывания реагентов в про­точном реакторе идеального вытеснения для условий примера 10.1. (реак­ция второго порядка 2A → R + S, кинетическое уравнение w_r,A = 2,5C_A², C_A,0 = 4 кмоль/м³, X_A = 0,8).

Решение.

Используем для расчета уравнение (10.13)

Таким образом, для достижения аналогичных результатов значения = V/v для реактора идеального вытеснения (0,4 ч) существенно мень­ше, чем значение для проточного реактора идеального смешения (2,0 ч).

Пример 10.3.

Уравнения материального баланса (10.12) и (10.13)могут быть использованы не только для определения среднего времени пребывания и размеров реакционного пространства при заданной глубине химического превращения (проектный расчет), но и для решения обратной задачи (поверочного расчета) при заданных размерах аппарата для определения реакционного состава на выходе из него.

Приведем примеры аналитического решения математической модели (10.12) и (10.13) для некоторых частных случаев:

A. Простая элементарная реакция А → R. (константа k).
Скорость такой реакции w_r,А = kC_А.
Подставим это кинетическое уравнение в уравнение материального баланса (10.12)

и проинтегрируем:

решаем относительно концентраций

или выражая через конверсию

B. Обратимая реакция. При условии С_R,0 = 0

w_rA = k₁C_A – k₂C_R

учитывая уравнение материального баланса

C_R = C_A,0 – C_A

получим

w_rA = (k₁ + k₂)C_A – k₂C_A,0

Подставляем в уравнение (10.12)

или

разворачиваем логарифм

Решаем относительно концентрации

Выразим степень превращения – конверсию, учитывая что X_A = 1 – C_A/C_A,0