Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек.

1) Рассмотрим статистическое распределение двумерной случайной величины (Х,У) и корреляционную таблицу:

t =6, k = 6

Данные в каждой строке можно рассматривать, как условные частоты случайной величины У, или как условное статистическое распределение (при условии, что х= х_j, j меняется от 1 до k=6):

Если средние значения величины У, вычисленные при условиях, что х= х_j, будут равны, то можно предположить, что результативный признак У не зависит от фактора Х. Эти средние значения можно вычислять, как средневзвешенные:

По результатам вычислений составим таблицу:

Х (середины интервалов)
Групповые средние	320,000

Построим по данным таблицы эмпирическую линию регрессии у по х.

Аналогично можно построить эмпирическую линию регрессии х по у. Найдём групповые средние :

По результатам вычислений составим таблицу:

Y (середины интервалов)
Групповые средние	45,000	52,500

Построим по данным таблицы эмпирическую линию регрессии х по у:

2. а) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость, будем искать уравнения линий регрессии. Пусть для регрессии у по х уравнение имеет вид:

Параметры а₀ и а₁ можно найти с помощью метода наименьших квадратов:

(1)

Для решения системы (1) удобно составить расчетную таблицу (в качестве x_j и y_i берём середины интервалов):

i,j	xj	nx	xj nx	хj2 nx	yi	ny	yiny	yi2ny	nxjyi
									160·45·1
									280·(45·2+55·1+ +65·1)
Σ			=3460	=249250			= =25640	=14196800	= =1832200

Система (1) примет вид:

Следовательно, искомым уравнением регрессии будет уравнение: . Построим линию регрессии:

Х (середины интервалов)	Групповые средние
	320,000	370,120

Найденная линия регрессии позволяет сделать предположение о наличии положительной линейной зависимости выпуска продукции от численности работающих. С увеличением численности увеличивается выпуск продукции.

Запишем уравнение регрессии х по у в виде:

Параметры b₀ и b₁ найдём с помощью метода наименьших квадратов:

(2)

С учётом значений, полученных в расчетной таблице, систему (2) запишем в виде:

Следовательно, искомым уравнением регрессии будет уравнение: . Построим график прямой регрессии:

У (середины интервалов)	Групповые средние
	45,00	49,68
	52,50	56,28

(Посторить график)

Найденная линия регрессии позволяет сделать предположение о наличии положительной линейной зависимости численности работающих от выпуска продукции. С увеличением выпуска продукции увеличивается численность работающих.

б) Вычислим коэффициент корреляции r.

Линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

Получили, что величины Х и У (выпуск продукции и численность работающих) зависят друг от друга на …%; связь заметная, но не высокая. r > 0, значит связь положительна, т.е. с возрастанием Х возрастает У и наоборот.

Проверим справеливость этих выводов для генеральной совокупности. На уровне α = 0,05 проверим значимость коэффициента корреляции с помощью t – критерия:

Для α = 0,05 и k = n - 2 =48 получим критическое значение критерия по таблице распределения Стьюдента:

Т.к. t … , то гипотеза об отсутствии линейной корреляционной зависимости между Х и У …. Коэффициент корреляции считается ….

в) Оценим средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек. С помощью уравнения регрессии найдём среднее значение Х при заданном значении У = 700.

.

Доверительный интервал прогнозируемого среднего значения Х (или математического ожидания при условии У = у₀):

, где t – значение из таблицы распределения Стьюдента, S_Х – стандартная ошибка среднего значения Х при заданном значении У.

При уровне значимости α =0, 05 и числе степеней свободы k = n -2 = 48 получим .

- сумма квадратов отклонений от значения функции регрессии ,

. Для отыскания составим таблицу:

уi - середины интервалов
	50,48	(45 - )2·1=30,030
		(45 - )2·2+(55 – )2 ·1+(65 – - )2 ·1=382,330
Σ		= 6943,184

Тогда

Доверительный интервал для условного математическое ожидания случайной величины X будет иметь вид:

Для конкретного значения Y₀ =700 получим:

Т.о. получили, что при уровне значимости α = 0,05 можно ожидать, что средний выпуск продукции при Y = 700 составит от … до … млн. руб.

Ответ:

Выпуск продукции и численность работающих зависят друг от друга на …%; связь заметная, но не высокая. Связь положительная, т.е. с возрастанием выпуска продукции возрастает численность работающих и наоборот. Коэффициент корреляции считается значимым с достоверностью …%. С такой же вероятностью можно ожидать, что среднее значение выпуска продукции при численности работающих, равной 700 человек, будет находиться в диапазоне от … до … млн. руб.