Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Выявление основной тенденции ряда динамики

На практике наиболее распространенными методами изучения тренда являются: укрупнение интервалов; сглаживание скользящей средней; аналитическое выравнивание.

Рассмотрим использование этих методов на данных о квартальном объеме реализованной продукции.

Таблица 8.3

Динамика объема реализованной продукции

Укрупнение интервалов от квартальных до годовых (итоговая сумма), позволяет получить более наглядную тенденцию объема реализации продукции. Смысл приема заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд, содержащий данные о квартальном объеме реализации продукции, может быть преобразован в ряд годовых данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получаю путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. При суммировании уровней или при выявлении средних по укрупненным интервалам отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая

Сглаживание скользящей средней – для этого метода необходимо установить количество уровней ряда по которому будет усредняться данный динамический ряд – квартальные – 4, данные по месяцам – 12.

Для нашего примера расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда.

……………………………………………………..

При сглаживании почетному числу уровней скользящая средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Для нашего примера с четырьмя уровнями, скользящая средняя будет находиться между вторым и третьем уровнями. Чтобы ликвидировать этот сдвиг применяется способ центрирования. Центрированная скользящая средняя определяется из двух смежных скользящих средних, для отнесения полученного уровня к определенной дате в нашем случае к третьему кварталу 1-го года, например

Если при сглаживании рядов динамики количество уровней ряда составляется из нечетного числа уровней, то необходимость в центрировании отпадает.

Рис. 8.2.

На рис 8.2 видна тенденция возрастания объема реализации продукции c центрированными скользящими средними.

Аналитическое выравнивание – заключается в том, что основная тенденция развития ряда динамики рассчитывается как функция времени .

Подбор эмпирических формул состоит из 2х этапов:

- выбор вида функции дающей наилучшее приближение;

- определение параметров выбранной функции.

Наиболее часто применяются следующие виды функций:

- линейная ;

- параболическая ;

- экспоненциальная ;

- полулогарифмическая ;

- гиперболическая ;

- степенная

Полиномы невысоких степеней имеют конкретную интерпретацию рядов динамики. Например, для линейной и параболической функций коэффициенты модели можно интерпретировать следующим образом:

a₀ – характеризует средние условия ряда динамики;

a₁ – скорость роста ряда динамики;

a₂ – ускорение ряда динамики.

Существует правило выбора степени полинома, основанное на определении величин конечных разностей уровней ряда динамики. Согласно этому правилу полином первой степени (линейная функция) применяется в том случае, если первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полином второй степени – когда постоянны вторые разности и т. д.

Для выбора экспоненциальной функции необходима стабильность цепных темпов роста.

Если возрастание одной величины приводит к убыванию другой, то используют гиперболическую или степенную функции, а если с возрастанием одной величины наблюдается замедленное возрастание другой, то используют полулогарифмическую функцию.

Для нахождения неизвестных коэффициентов методом наименьших квадратов (МНК) можно составить систему нормальных уравнений для рассмотренных функций и решить их, определив неизвестные коэффициенты , и . Рассмотрим пример составления системы нормальных уравнений для гиперболической функции. МНК минимизирует сумму квадратов отклонений () наблюдаемых значений от теоретических. Символьно это можно записать так.

где – наблюдаемые значения временного ряда; – теоретические значения временного ряда; – временные отсчеты, например, годы ; – количество наблюдаемых значений временного ряда; – неизвестные коэффициенты.

Функция минимизируется, если взять частные производные по неизвестным параметрам.

Преобразуя эту систему, получим

Из этой системы находим a₀ и a₁, но предпочтительнее определять неизвестные коэффициенты, используя матричные обозначения, так как по этому способу удобнее рассчитывать различные статистические характеристики модели.

В матричном обозначении неизвестные коэффициенты находятся следующим образом.

(8.15)

где – вектор наблюдаемых значений временного ряда; – матрица, характеризующая временные данные (независимые переменные); – транспонированная матрица; – обратная матрица; – вектор неизвестных коэффициентов.

Запишем представление в матричном виде для гиперболической функции.

Интервал прогноза определяется следующим образом.

(8.16)

где – точечное значение прогнозируемого показателя для единиц времени; – значение критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости и степенью свободы ( -количество независимых переменных); – стандартная ошибка прогноза.

Стандартная ошибка прогноза зависит не только от числа наблюдений , но и от периода упреждения и определяется по формуле.

(8.17)

где – стандартная ошибка уравнения; – вектор столбец времени, по которому производится экстраполяция.

(8.18)

где – количество независимых переменных.

Аналитическое выравнивания ряда динамики по гиперболической функции для нашего примера дало следующие оценки параметров . Эта зависимость представлена графически (рис. 8.3).

Рис. 8.3.