Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Волновая функция системы микрочастиц

Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Механика системы микрочастиц

Волновая функция системы микрочастиц

Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:

Ψ = Ψ (х₁, х₂,…, х_N , t),

где х_i совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.

Вероятность того, что частица находится в элементе объема около точки с координатами х ₁, у ₁, z ₁ и одновременно с этим частица в элементе объема около точки с координатами определяется формулой:

.

Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.

Следует помнить, что координаты x_i, y_i, z_i не есть координаты i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.

Обычный вид имеет условие нормировки:

.

Этот интеграл 3 N кратный.

В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.

Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.

Оператор импульса системы имеет вид: .

Оператор момента импульса системы определяется как сумма .

Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

.

Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц, второе – потенциальная энергия их во внешнем поле, третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:

.

На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).

В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц и вводится оператор спина системы:

.

Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:

,

где .

Операторы можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.

Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется. Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей:

.

Для нахождения функций ψ (х₁,х₂,…,х_N) нужно решить уравнение Шредингера без времени

или

. (9.1)

Одночастичные операторы Гамильтона действуют только на координаты i -той частицы. Поэтому переменные в уравнении (9.1) разделяются. Выполним подстановку:

. (9.2)

Получаем

,

разделим на ψ₁ψ₂…ψ_N

.

Подставим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений:

, (9.3)

на которые распадается уравнение (9.1).

Решив уравнение (9.3), мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяется некоторым набором квантовых чисел, обозначающихся через n_i (например, для электрона в кулоновском поле набор представляет совокупность четырех чисел: n, , m, m_s). Индекс i дает номер частицы, к которой относится набор.

Итак, для системы:

- функция состояния системы невзаимодействующих частиц находится как произведение одночастичных функций.

Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:

.

Если частицы в системе одинаковы, например, это электроны, то все уравнения (9.3) имеют один и тот же вид. Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц. Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по N – одночастичных состояний. Все эти состояния определяются выборками по N из бесконечного числа наборов квантовых чисел n, определяющих состояние одного электрона в некотором поле.