Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальное и полное сечение рассеяния

Для количественного описания процесса столкновения или процесса рассеяния частицы на неподвижном центре вводится понятие дифференциального эффективного сечения рассеяния. Пусть в начале координат находится рассеивающий неподвижный центр, а налетающая частица движется, имея прицельный параметр r, и рассеивается на угол c. Частицы движущиеся изначально в пределах площадки

ds=2prdr (2)

рассеиваются в телесный угол

dW=2psincdc (3)

Дифференциальное сечение определяется как модуль отношения ds/dW. Нетрудно получить следующее соотношение

(4)

Это соотношение справедливо для классической механики. В квантовой механике решение задачи о рассеянии ищется в виде суммы падающей и рассеяной волн

(5)

где f - амплитуда рассеяния, зависящая от угла. Для дифференциального сечения имеет место следующее соотношение

(6)

Следует отметить, что в случае, когда рассеивающий центр не обладает сферической симметрией (например рассеивающей частицей является молекула, обладающая дипольным моментом), дифференциальное сечение, вообще говоря, зависит не только от полярного, но и от азимутального угла j. Однако в экспериментах как правило измеряется усредненное по углу j сечение и именно оно представляет практический интерес для анализа газоразрядных процессов, поскольку молекулы газа ориентированы случайным образом относительно потока заряженных частиц.

Полным сечением или просто сечением называется следующая величина

(7)

Физический смысл величины s следующий: это площадь круга, попадая в который налетающая частица испытывает рассеяние. Ясно, что величина s будет конечной если сила взаимодействия рассеивающего центра и налетающей частицы обращается в 0 на некотором конечном расстоянии R от силового центра и, очевидно, что для полного сечения будет справедливо следующее соотношение

s=pR² (8)

Если же взаимодействие является дальнодействующим (а в классической механике это практически всегда так и есть) и сила взаимодействия спадает до 0 лишь при R ® ¥, то для полного сечения имеет место проблема расходимости. Действительно, даже если частица летит на большом прицельном расстоянии от центра все равно она испытает рассеяние хотя бы на малый угол.

Едва ли не единственным исключением является т.н. взаимодействие твердых (или еще говорят идеально упругих) шаров, испытывающих рассеяние только лишь при непосредственном контакте. Пусть имеется неподвижный твердый шар радиусом r₂ и налетающий шар с радиусом r₁. Нетрудно сообразить, что для того чтобы столкновение произошло центр налетающего шара должен попасть в площадку

s = p(r₁ + r₂)². (9)

Вот эта величина и является полным сечением для столкновени двух твердых шаров. Модель твердых шаров используется в газокинетической теории для оценки величины сечений. В частности для случая взаимодействия электрона с атомом можно пренебречь размером электрона и получить, что сечение равно

s = pr₂², (10)

где r₂ - радиус атома, а для случая взаимодействия двух одинаковых атомов r₁ = r₂ или иона с атомом получаем

s = pd², (11)

где d - диаметр атома. Разумеется полученные соотношения могут быть использованы только для грубых оценок, а не точных расчетов. В то же время газокинетические сечения являются характерным масштабом, с которым удобно проводить сравнения. Например когда говорят, что сечение того или иного процесса мало или велико, то имеется в виду, что оно намного меньше или больше, чем соответствующее газокинетическое сечение.

Возможность существенного отличия реального сечения от газокинетического связана, в частности, с квантовомеханическими эффектами. Отметим, что эти эффекты приводят к тому, что в квантовой механике ситуация с расходимостью полного сечения отличается от классической механики. Оказывается s является конечным, если потенциал взаимодействия убывает с расстоянием быстрее, чем 1/r. В противном случае s расходится.

1.4. Транспортное сечение.

Избавиться от расходимости удается с помощью следующего подхода. Поскольку расходимость возникает вследствие высокой вероятности рассеяния на малые углы, которое не имеет существенного значения (частица после такого рассеяния практически летит как и летела), то вводят понятие транспортного сечения

(12)

в котором вклад малых углов зануляется с помощью введения весовой функции 1 - соsc, которая стремится к 0 при c ® 0. Конечно можно было бы использовать и другую функцию, стремящуюся к 0 при c ® 0, но именно при таком определении через транспортное сечение и связанные с ним величины легко выражается потеря направленного импульса, средняя потеря энергии, коэффициент диффузии и другие важные характеристики движения частиц. Отсюда другие названия для транспортного сечения: сечение передачи импульса, тормозное сечение, диффузионное сечение.

В записанном определении (12) подразумевается величина , взятая в Ц-системе. Это уточнение существенно для случая взаимодействия частиц со сравнимыми массами. Физический смысл транспортного сечения, по-видимому, следующий: это площадь круга вблизи рассеивающего центра, попав в который в который частица существенно (на угол ~ p/2) отклонится от первоначального направления движения.

Понятие транспортного сечения вводится не только когда s расходится, но и когда s конечная величина.В этом случае интеграл (12) можно разбить на разность двух интегралов, взяв которые получаем

s_тр = s (1-<соsc>). (13)

Польза от использования этой величины в этом случае та же самая: через s_тр и связанные с ним величины легко выражаются различные характеристики движения частиц.