Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Макроскопические характеристики столкновений.

Как s_тр, так и s являются микроскопическими величинами, характеризующими индивидуальный акт столкновения рассеиваемой и рассеивающей частиц. Для описания движения ансамбля налетающих частиц в среде состоящей из множества рассеивающих частиц вводятся так называемые макроскопические характеристики. В частности, в теории переноса вводится так называемое макроскопическое сечение

S = ns, (14)

где n - плотность рассеивающих частиц, т.е. их число в одном см³. Нетрудно видеть, что величина S имеет размерность см^-1, и, соответственно, величина

l=1/S = 1/ns (15)

имеет размерность см. Эту величину называют длиной свободного пробега и, как мы сейчас покажем, она представляет собой среднее расстояние проходимое частицей от одного столкновения до другого.

Пусть имеется объем V₀ и в нем N₀ частиц, тогда n = N₀/V₀. Вероятность для одной из этих частиц попасть в некоторый объем V внутри V₀ равна V/V₀, вероятность, что ее там нет (1-V/V₀). Соответственно, вероятность того, что в V вообще нет частиц (1-V/V₀)^Nо. С другой стороны вероятность w(х) для налетающей частицы пройти путь x без столкновений равна вероятности того, что в объеме V=sx нет ни одной частицы. Тогда получаем

w(х) = (1-sх/V₀)^Nо = (1- nsх/N₀)^No ~ exp(-nsx) (16)

Вероятность пройти без столкновений путь х + dх

w(х+dх) = exp(-sn(х+dх)) (17)

Следовательно вероятность dР(х) пройти от одного столкновения до другого путь в пределах от х до х+dх равна

dР(х) = w(х) - w(х+dх) = exp(-nsx) (1- exp(-nsdх)) ~

~ еxp(-nsx)(1- 1+nsdх)) = exp(-nsx)nsdх. (18)

Или иначе

dР(х) =exp(-x/l)dх/l (19)

Вычисляем средний пробег

<x> = = = =l, (20)

что и требовалось доказать.

Введем еще несколько макроскопических характеристик. Поделив средний пробег на скорость налетающей частицы v получим среднее время между столкновениями.

t = l/v = 1/nsv (21)

Соответственно, величина обратная к t

n = 1/t = v/l = nsv (22)

есть не что иное как среднее число столкновений, испытываемых частицей в единицу времени, или частота столкновений. Отметим, что если скорости налетающих и рассеивающих частиц сравнимы между собой, то в соотношениях (21) и (22) под величиной v следует понимать среднюю относительную скорость их движения. Для ансамбля атомов или молекул, распределение которых по скоростям описывается Максвелловской функцией средняя скорость относительного движения

, (23)

где (24)

это средняя тепловая скорость молекул. Соответственно, для частоты столкновений молекул друг с другом в модели твердых шаров можно получить следующее соотношение

. (25)

В более точной модели, учитывающей то, что сечение зависит от относительной скорости частиц, при вычислении частоты столкновений необходимо проводить усреднение сечения

. (26)

Все введенные макроскопические характеристики тем или иным образом связаны с микроскопическим полным сечением. Аналогичным образом вводятся макроскопические характеристики, связанные с транспортным сечением. Чтобы отличать эти характеристики от характеристик, связанных с полным сечением, к ним обычно прибавляют определение эффективная. Например

n_эф = ns_трv (23)

это эффективная частота столкновений, а

l_эф = 1/ns_тр (24)

это эффективная длина свободного пробега. Вспоминая физический смысл величины s_тр можно сказать, что l_эф это характерное расстояние пройдя которое частица существенно отклонится от первоначального направления движения. Соответственно

t_эф = 1/ns_трv (25)

это характерное время, по истечении которого частица испытает “эффективное столкновение” и отклонится на большой угол.

Впрочем поскольку полное сечение зачастую расходится и физический смысл имеет только транспортное сечение и связанные с ним величины, то слово эффективная иногда опускается. Если s конечная величина, то вспоминая, что s_тр = s(1-<соsc>) можно получить связь между частотой и эффективной частотой в следующем виде.

n_эф = n(1-<соsc>). (26)

Следует заметить, что поскольку характер взаимодействия может быть различным, то макроскопические характеристики можно определить для каждого вида взаимодействия: например длина свободного пробега до ионизации

l_i = 1/ns_i

или частота упругих столкновений

n_упр = ns_упрv.

Отметим, что сечение неупругих процессов фвсегда конечная величина, так как очевидно, что частицы, находящиеся на большом расстоянии друг от друга и слабовзаимодействующие, не могут изменить внутреннее состояние друг друга.