Читайте также:
|
Смешанным произведением трех векторов 
, 
и 
называется скалярное произведение 
. Из определений скалярного и векторного произведений следует, что если все три вектора , и , участвующие в смешанном произведении, лежат в одной плоскости, то 
.
Если координаты векторов , и равны, соответственно, 
, 
и 
, то смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка: 
.
Квадратичные формы
Квадратичной формой в пространстве 
с координатами 
является выражение вида 
, где 
, – произвольные числа. Квадратичной формой в пространстве 
с координатами 
является выражение вида 
. Квадратичной формой в пространстве 
является выражение вида
, где матрица 
симметрична относительно главной диагонали.
Часто возникает вопрос, при каких коэффициентах квадратичная форма будет сохранять знак при произвольных значениях переменных 
.
Из свойств квадратных трехчленов 
следует, что квадратичная форма положительна тогда и только тогда, когда для коэффициентов квадратичной формы справедливы условия: 1) 
, 2) 
(или 
). Она отрицательна, если
1) , 2) 
(или 
).
Для квадратичной формы высших порядков рассматривают последовательность определителей 
из коэффициентов матрицы , расположенных в левом верхнем углу. Если 
, то квадратичная форма положительна. Если 
(определители с нечетными номерами отрицательны, определители с четными номерами положительны), то квадратичная форма отрицательна.
Упражнения. 1. Определить знак квадратичной формы 
.
2. При каких значениях параметра 
квадратичная форма 
будет положительной?
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 220 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |