Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция 3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса

Спинномозговые нервы отходят симметрично от спинного мозга. В правильном порядке чередуясь с сегментами спинного мозга и позвонками позвоночного столба, соответственно 31 сегменту образуется 31 пара спинномозговых нервов: 8 шейных, 12 грудных, 5 поясничных, 5 крестцовых, 1 копчиковый.

Каждый из спинномозговых нервов образуется путем слияния переднего двигательного и заднего чувствительно корешков спинного мозга. В области слияние двух корешков, около межпозвоночного отверстия в заднем корешке формируется утолщение которые представляет собой спинномозговой узел или спинальный ганглий, в каждом узле находится 20 тыс. Крупных псевдоуниполярных нейронов, один из отростков дендрит, идет через задний корешок и заканчивается рецептором в коже сухожилиях, связках и капсулах суставов, другой отросток (аксон) проходя в другую сторону, впадает в спинной мозг, где идет либо в его серое вещество либо в бело вещество. Спинномозговые нервы являются смешанными так как в них проходят чувствительные волокна из заднего корешка, двигательные волокна из переднего корешка, которые представляют собой аксоны, альфамотонейронов, передних рогов спинного мозга и вегетативные волокна, которые представляют собой аксоны, корешковых нейронов, латеральных симпатических ядер, боковых рогов, спинного мозга. После отхождения от спинного мозга, каждый из спинномозговых нервов, делится на 4 части. Переднюю, заднюю, соединительную и менингиальную. Соединительные части имеются только на уровне сегментов Ц8,Л3. Менингиальные возвращаются обратно спинной мозг для иннервации оболочки окружающих спинной мозг, передние ветви иннервируют кожу лица, шеи, груди и живота. Задние ветви иннервируют кожу и мышцы затылка задней поверхности шеи спины и поясницы. Образующие спинномозговые нервы передние и задние корешки имеют эволюционно сложившуюся очень тесную связь с соответствующими сегментами тела, так волокна задних корешков связанны только с определенными участками кожи, а волокна передних корешков связанны только с определенными мышцами, за иннервацию которых они отвечают.

Вегетативная нервная система, согласно изречению И.П.Павлова отвечает за регуляцию работы внутренних органов участвующих в реализации растительных функции организма(питании, дыхании, выделении, размножении и циркуляции жидкости, вегетативная нервная система иннервирует специфически работающие органы в сторону либо усиления либо ослабления их деятельности. Поэтому работа вегетативной нервной системе тонический характер. В связи с тем что нервные волокна могут, проводит импульс в одном направлении, либо только усиливать, либо только ослаблять работу, вегетативную нервную систему делят на 2 части.

1.Симпатический отдел

2.Парасимпатический отдел.

К большинству органов подходят обе пары нервов, но есть органы которые получают только симпатическую или парасимпатическую иннервацию. Симпатическую: кровеносные сосуды, потовые железы, селезенка и мышца расширяющая зрачок. Симпатическая нервная система носит преимущественно адаптивный регулирующий характер, при повышении тонуса симпатического отдела происходит расширение зрачка, на фоне стрессовой реакции. Повышение частоты дыхательных движений, расширение бронхов, спазм периферических сосудов, повышение артериального давления, урежение моторной деятельности органов желудочно-кишечного тракта и снижение секреторной активности желез. При повышении частоты парасимпатичского отдела происходит урежение сердечных сокращений, опорожнение полых органов. У вегетативной нервной системы принято выделять центральные и периферические звенья. Центральные звенья симпатического отдела локализованы в боковых рогах спинного мозга в виде латеральных или симпатических ядер. Отсюда отходят отростки нервных волокон, которые в итоге идут к различным железам, гладким мышцам сосудам и внутренними мышцам глазного яблока. Периферические звенья симпатического отдела, представлены симпатическими ганглиями, пре и пост ганглионарными волокнами и нервными окончаниями, симпатические ганглии имеют 2 локализации.

1ая. Паравертебральная около позвоночного столба, эти ганглии образуют 2 цепочки нервных узлов, которые лежат с двух сторон от позвоночного столба (трункус симпатикус) то есть симпатический ствол, в его ганлиях находятся 3ие нейроны двигательные нейроны симпатических рефлекторных дуг. Волокна, которые идут от спинного мозга в трумкус симпатикус преганглионарные, получают название волокна, миелиновые, короткие постганглионарные безмеелиновые.

2ая превертебральная ганглии чревного спелетения.

Парасимпатический отдел.

Центральные звенья имеют 2 локализации.

1.Краниальные – ядрами некоторых черепных нервов локализованных в среднем мозге в продолговатом мозге и варолиевом мосту, краниальная локализация представлена тазовыми ядрами медиальные ядра промежуточной зоны на уровне c2 - с4 крестцовых сегментов спинного мозга, периферические представлены пре и постганглионарными волокнами и нервными окончаниям.

2.Каудальные

Парасимпатические нервные узлы локализуются либо в стенке либо рядом с последней и носят название интромулярный нервов. В них локализуются 3 двигательных нейрона парасимпатического. Рефлекторной дуги органов чувств. Преганглионарные волокна длинные,пост ганлионарные волкна безмиелиновые и короткие.

Лекция 3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса

Начнем с понятия потока вектора. Потоком вектора F через границу (поверхность) S называется интеграл

, (3.1)

где векторный дифференциал поверхности понимается как произведение обычного дифференциала ds на единичный вектор нормали к поверхности, т.е. ; положительной считают внешнюю нормаль (что для замкнутой поверхности определяется однозначно). Процесс получения подынтегрального выражения при вычислении потока вектора поясняет рис. 3.2. Подынтегральное выражение, будучи скалярным произведением двух векторов, положительно, когда угол между ними острый, и отрицательно при тупом угле.

ΔS_F

ΔS

Рис 3 2

Поэтому поток вектора обязательно положителен, если все силовые линии выходят через рассматриваемую поверхность наружу (образуя острый угол с её внешней нормалью), как, например, на рис. 3.1 а, и отрицателен, когда они входят внутрь (рис. 3.1 б). В случае замкнутой поверхности S обычно пишут:

(3.1а)

Покажем, что поток вектора через поверхность S можно измерять числом пересекающих её силовых линий при условии, что их густота характеризует интенсивность поля. Рассмотрим сначала векторный элемент поверхности (элемент площади Δ s на рис. 3.2 заштрихован). Элементарный поток ΔФ, проходящий через Δs, равен

, (3.2)

где - проекция векторного элемента на направление вектора Как видно из рис. 3.2, представляет собой площадку, через которую под прямым углом проходят все силовые линии вектора , пересекающие элемент Δ S; число их обозначим Δ N. Густота силовых линий характеризуется отношением Δ N/ , а по условию последнее должно быть пропорционально абсолютному значению F вектора , т. е.

, (3.3)

(k - коэффициент пропорциональности). Таким образом, согласно (3.2) и (3.3)

, (3.4)

т. е. элементарный поток измеряется числом силовых линий, проходящих через соответствующий элемент поверхности. Складывая потоки элементарных площадок, на которые разбита поверхность S, находим:

. (3.5)

Следовательно, полный поток Ф вектора через поверхность S измеряется числом N силовых линий, её пересекающих, что и требовалось показать. При этом число выходящих силовых линий считается положительным, а число входящих - отрицательным. Наконец, необходимо ещё одно замечание. Соотношение (3.5) мы будем рассматривать как точное, хотя практически точность выражения потока числом силовых линий зависит от степени грубости построенной картины. В сущности, формула (3.5) может рассматриваться как точная, если число силовых линий, отнесенных к единице площади, условно считается непрерывной функцией, приращения заменяются дифференциалами, а суммирование потока по элементам - интегрированием.

3.2. Дивергенция. По определению, дивергенция вектора , обозначаемая символом div , выражается следующим предельным соотношением:

(3.6)

где под S понимается замкнутая поверхность, ограничивающая Δ V.

Для иллюстрации введенного понятия обратимся к рис. 3.3.

Положим, что поток вектора через S для рассматриваемого случая равен Ф, Ф > 0. Одновременно он измеряется числом выходящих через S силовых линий. Поэтому, если предельный переход в (3.6) производить, стягивая S вокруг точки Р (рис. 3.3а), из которой силовые линии выходят, то как бы ни уменьшался объем, поток через его границу останется равным Ф. В пределе при Δ V → 0 получим

в точке Р.

Если же, стягивая S, мы обойдем точку Р (рис. 3.36), то, начиная с этого момента, число силовых линий, входящих в ΔV, окажется равным числу линий выходящих. Следовательно, понимая предельный переход в (3.6) как стягивание S к любой из точек, не совпадающих с Р, будем иметь:

вне точки Р.

Рис. 3.3

Очевидно, если бы вместо поля с точечным источником мы рассмотрели поле с подобным же стоком (см. рис. 3.1 б), то расхождение везде было бы равно нулю, кроме одной точки, в которой оно имело бы отрицательное значение. В полях же без источников и стоков (рис. 3.1, в, г), расхождение равно нулю во всех точках. Поля с нулевым расхождением называются соленоидальными; их силовые линии нигде не начинаются и не кончаются: они или замкнуты, или уходят в бесконечность (они могут также оканчиваться на границе области, в которой задано векторное поле).

Из определения оператора дивергенции следует его физический смысл: это растекание физической величины, её расхождение.

3.3. Дивергенция в декартовых координатах.От общего определения дивергенции (3.6) можно перейти к её дифференциальному выражению в декартовой системе координат. Для нахождения в некоторой точке М (х, у, z) проведём через неё координатные линии и построим, как это показано на рис. 3.5, элементарный параллелепипед. Теперь надо вычислить поток вектора через поверхность этого параллелепипеда. Очевидно, полный поток Ф можно разбить на три части (Ф = Ф₁ + Ф₂ + Ф₃), каждая из которых соответствует двум противоположным граням. Так, Ф ₁ - это поток через грань 1 и противоположную ей грань 1 ' (невидимую на рис.). Чем меньше грань, тем с большим основанием при вычислении потока можно заменять интеграл (3.1) приближенным выражением

Рис. 3.5

(Δ S -площадь грани, - поток через неё). Поступая так, учтём, что на гранях 1 и 1 ' - единичный вектор внешней нормали равен соответственно, а Δ S = Δ y Δz. Таким образом,

.

Заменив через

найдем:

,

и точно также:

Согласно (3.6) в точке М (х, у, z)

(в пределе приближённые выражения становятся точными), т. е.

(3.7)

( есть в ΔV _i) вместо (3.6) будет меньше некоторой наперёд заданной величины. Поэтому справедливо:

где ε -как угодно малая положительная величина, соответственно которой выбран размер ΔV _i.

Полагая, что неравенство (с данным ε) выполнено дли каждого элемента, произведём суммирование по i, которое даст:

Дело в том, что поверхностные интегралы по всем внутренним границам, разделяющим смежные элементы ΔV _i, взаимно уничтожаются: на каждой общей границе (см. рис. 3.6) нормали для двух соседних элементов противоположны. Поэтому остаются лишь поверхностные интегралы по тем частям поверхностей элементов, которые составляют внешнюю границу S.

Переходя в пределе при N →∞ (бесконечное «измельчение» элементов ΔV _i) от суммы к интегралу и учитывая произвольную малость ε, получаем соотношение:

(3.8)

Это и есть формулировка теоремы Остроградского-Гаусса, согласно которой объёмный интеграл от дивергенции вектора равен потоку этого вектора через замкнутую граничную поверхность.