Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Исследование взаимосвязи двух временных рядов.

Модели, построенные на основе данных, характеризующих какой-либо объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени, называются моделями временных рядов. Исследование взаимосвязи между переменными, заданными при помощи временных рядов имеет существенные особенности.

Наличие в составе временных рядов тенденций и периодических компонент может при применении обычных методов корреляционного или регрессионного анализа привести к явлениям «ложной корреляции» или «ложной регрессии». В этом случае абсолютная величина коэффициента корреляции между переменными х и у, абсолютно не влияющими друг на друга, имеет высокое значение вследствие зависимости каждой из них от времени, либо коэффициент детерминации свидетельствует о высоком качестве полученной между ними регрессии. Чтобы избежать этого, перед изучением взаимосвязи между переменными х и у необходимо предварительно исключить из уровней временных рядов влияние тенденции и периодической компоненты.

Для исключения тенденции применяются такие методы, как метод последовательных разностей, метод отклонений от тренда, метод явного включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

Метод отклонений от тренда. Рассмотрим два временных ряда х_t и у_t, каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту ε. Предположим, что проведено аналитическое выравнивание этих рядов и найдены параметры соответствующих уравнений тенденций x̂_t = f₁(t) и ŷ _t = f₂(t).

Вычитание расчетных значений уровней ряда x̂_t и ŷ _t из фактических х_t и у_t позволяет устранить влияние тенденции в обоих рядах. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием отклонений от тренда и , т. е. уравнение регрессии строится в виде

Метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную полиномиальную тенденцию (имеющую вид полинома от времени t), то с целью устранения тенденции можно применить метод последовательных разностей, заключающийся в замене исходных уровней ряда последовательными разностями соответствующих порядков (порядок разности равен порядку полинома).

Последовательными разностями первого порядка называются величины Δy _t = у_t – у_t–1.

Последовательными разностями второго порядка называются величины Δ²y_t = Δу _t – Δу _t–1, и т. д.

Замена исходных уровней ряда последовательными разностями первого порядка позволяет устранить линейную тенденцию, задаваемую уравнением у = a + b · t.

Замена исходных уровней ряда последовательными разностями второго порядка позволяет устранить параболическую тенденцию, задаваемую уравнением в виде полинома второго порядка у = a + b · t + c · t², и т. д.

Если тенденция временного ряда характеризуется экспоненциальной зависимостью, то временной ряд из логарифмов исходных уровней будет иметь линейную тенденцию, что позволяет применить метод последовательных разностей к ряду логарифмов.

С использованием первых разностей Δy_t, Δx_t уравнение регрессии находится в виде

Δy_t =a+b Δx_t или у_t – у_t–1 = a + b·(x_t – x_t–1).

Включение в модель регрессии фактора времени. Включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной позволяет зафиксировать тенденцию с целью исключения ее влияния на параметры модели.

Уравнение парной регрессии в этом случае принимает следующий вид y _t = a + b₁·x_t + b₂ · t + ε_t.

Этот же прием может быть использован, если число факторов больше единицы. Параметры а, b₁, b₂ модели с включением времени в качестве фактора определяются обычным МНК.

Параметры уравнения регрессии могут быть проинтерпретированы следующим образом:

– параметр b₁ показывает, насколько в среднем изменится значение результативного признака у t при увеличении фактора x t на единицу при неизменной величине других факторов;

– параметр b₂ показывает, насколько в среднем за период наблюдения изменится значение результативного признака у_t за счет воздействия всех факторов, кроме фактора x_t.

Коинтеграция временных рядов. Не всегда наличие тенденции во временных рядах х t и у t приводит к недостоверности оценок параметров регрессии

y t =a + b * x_t  +ε _t, полученных с помощью обычного МНК, так как наличие тенденции во временном ряде у_t может являться следствием наличия тенденции во временном ряде х_t. Если нестационарные временные ряды х_t и у_t являются коинтегрируемыми, то оценки параметров регрессии оказываются состоятельными.

Нестационарные временные ряды х_t и у_t называются коинтегрируемыми, если существует линейная комбинация этих рядов, представляющая собой стационарный временной ряд, т. е. существуют такие числа λ₁ и λ₂, что временной ряд λ₁ y_t + λ₂ x _t является стационарным.

Для тестирования временных рядов на коинтеграцию применяется критерий Энгеля-Грэнджера.

Таким образом, наличие коинтеграции нестационарных временных рядов позволяет при построении регрессионной модели использовать их исходные уровни х_t и у _t.

Такой подход применим только к временным рядам, охватывающим достаточно длительные промежутки времени.