Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Спектральное представление периодического негармонического колебания в ЭЦ.

Пусть на входе некоторой линейной системы действует входной сигнал u ₁(t), заданный в виде интеграла Фурье:

(12)

Линейная система задана своими частотными характеристиками, а именно: АЧХ - | H(jω) | и ФЧХ - θ(ω). Имея в виду, что (12) является интегральной суммой гармонических составляющих, и применяя принцип суперпозиции, можно вычислить реакцию u ₂(t) на выходе системы с помощью частотных характеристик аналогично тому, как это было сделано для периодического воздействия. Тогда получим:

(13)

Полученное соотношение (13) является интегралом Фурье для выходного сигнала. Причем, спектральные характеристики выходного сигнала

| U₂(jw) | = | U₁(jw) | × | H(jw) |, j₂(w) = j₁(w) +q(w). (14)

Очевидно, что формулы (14) можно объединить в одну

U₂(jw) = U₁(jw) × H(jw), (15)

где U₁(jω) =| U₁ |× exp (jj₁), U₂(jω) =| U₂ |× exp (jj₂)– комплексные спектральные плотности воздействия и реакции; H(jω) =| H |× exp (jq)– комплексная функция передачи системы.

Таким образом, при спектральном анализе, эффект преобразования сигнала в системе отображается простой алгебраической операцией умножения. Зная АЧХ и ФЧХ цепи, можно найти спектральные характеристики и саму реакцию на любое воздействие, которое может быть представлено интегралом Фурье. Спектральный метод анализа особенно удобен, если система имеет простые (идеализированные) частотные характеристики.

Условия безыскаженной передачи сигналов через

электрическую цепь

Для того чтобы при передаче сигнала через электрическую цепь отсутствовали искажения формы сигнала (т.е. функции воздействия и реакции были идентичны), необходимо, чтобы цепь имела частотные характеристики следующего вида:

| H(jω) | = K _o; θ(ω) = - ωt _o. (16)

где К_о и t_о – некоторые положительные константы.

Графики частотных характеристик такой неискажающей цепи приведены на рис. 11.

Рис. 11.

Для доказательства приведенного утверждения предположим, что на входе такой неискажающей цепи действует некоторое напряжение u ₁(t),

представленное интегралом Фурье (12).

Тогда, согласно спектральному методу, напряжение на выходе u ₂(t) определится по (13). Подставим в (13) указанные АЧХ и ФЧХ (16) неискажающей цепи. Тогда получим:

(17)

Сравнивая полученное выражение (17) для выходного напряжения с выражением для входного напряжения, можно записать:

u ₂ (t) = K _o u ₁(t – t _o). (18)

Таким образом, при передаче сигнала через рассматриваемую цепь происходит пропорциональное изменение значений сигнала в К _о раз и его задержка на некоторое время t_o. При этом сигналы на входе и выходе цепи как функции времени идентичны, т.е. не происходит изменение формы сигнала. Сказанное иллюстрируется на рис 12 при передаче видеоимпульса прямоугольной формы через электрическую цепь с частотными характеристиками (16).

Рис.12

Необходимо отметить, что в реальных цепях с реактивными элементами условия безыскаженной передачи могут быть выполнены лишь приближенно и для полосы частот конечной протяженности. Для уменьшения искажений, вносимых цепями передачи сигналов, т.е. для приближения реальных АЧХ и ФЧХ к идеальным, применяются корректирующие цепи.

Спектральное представление периодического негармонического колебания в ЭЦ.

При частотном методе анализа электрическая цепь задается своими частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ), которые в большинстве практических случаев могут быть просто измерены или рассчитаны. При этом необходимо определить реакцию на произвольное (негармоническое) воздействие. Поскольку частотные характеристики являются характеристиками установившегося режима гармонических колебаний, то целесообразно произвольное воздействие представить в виде совокупности гармонических и реакцию линейной цепи искать как совокупность реакций, вызванных каждым гармоническим воздействием в отдельности. Таким образом, частотный метод анализа включает в себя задачу частотного или спектрального представления воздействия в виде суммы гармонических составляющих с определенными амплитудами, начальными фазами и частотами, а также задачу определения реакций цепи на каждую гармоническую составляющую воздействия и их суммирование.

Сформулированные задачи наиболее просто решаются для периодических негармонических воздействий, которые при некоторых ограничениях могут быть представлены в виде гармонического ряда Фурье.

Анализ спектрального состава периодических сигналов

Пусть периодическая функция f (t) имеет период повторения, равный Т так, что f (t + T)= f (t). В качестве примера на рис. 1 приведен график периодической последовательности видеоимпульсов прямоугольной формы.

рис. 1

Предположим, что периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле:

1) на интервале Т функция должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов только первого рода;

2) число экстремумов функции f (t) на интервале Т должно быть конечно и она не должна обращаться в бесконечность.

Следует отметить, что все периодические функции, с которыми имеют дело в теории цепей, удовлетворяют условиям Дирихле.

При принятых предположениях функция f (t) может быть представлена рядом Фурье:

, (1)

где ω₁ =2π/ Т – частота основной (первой) гармоники, которая определяется периодом (частотой) повторения исходной функции f (t); А _к, φ _к и к · ω ₁ – амплитуда, начальная фаза и частота к -ой гармоники; А _о /2 – постоянная составляющая, которую можно рассматривать как гармоническую составляющую с нулевой частотой, т.е. при к =0.

Коэффициенты разложения (1) определяются известным из математики соотношением:

. (2)

Таким образом, периодический сигнал может быть представлен как результат наложения бесконечно большого числа гармонических колебаний. Хотя, теоретически ряд (1) бесконечен, для реальных сигналов он быстро сходится, так, что А _к → 0 при увеличении к. Периодическое колебание полностью описывается совокупностью амплитуд А _к и фаз φ _к в разложении (1). Первая совокупность называется спектром амплитуд, вторая – спектром фаз. Периодические сигналы имеют дискретный (линейчатый) спектр, так как частоты к · ω ₁ составляющих спектра принимают дискретные значения, кратные основной частоте ω ₁.

Спектры простейших периодических сигналов.

Пример 1. Рассмотрим периодический сигнал, заданный в виде усеченного ряда Фурье:

Спектр амплитуд и спектр фаз этого сигнала можно представить графически в виде отрезков линий при соответствующих значениях частоты. Длина каждой такой линии пропорциональна амплитуде А _к (для спектра амплитуд) или начальной фазе φ _к (для спектра фаз) гармонической составляющей с частотой к · ω ₁ (к =0,1,2…) (рис. 2).

амплитуд) или начальной фазе φ _к (для спектра фаз) гармонической составляющей с частотой к · ω ₁ (к =0,1,2…) (рис. 2).

рис. 2

Пример 2. Рассмотрим спектр последовательности видеоимпульсов прямоугольной формы, изображенной на рис. 1. Для этого воспользуемся соотношением (2), в котором необходимо положить верхний предел интегрирования равным t _и, а f (t)= U _о:

Поскольку ω ₁ Т =2π, а то окончательно получим:

Введем в рассмотрение скважность последовательности Q = Т / t _и.

Тогда ω ₁ t _и = 2π/ Q, а спектр амплитуд и спектр фаз будут иметь следующий вид:

; . (3)

Значение спектра фаз увеличивается на π рад при частотах к · ω ₁, на которых

sin (p/Q) меняет знак.

Спектры амплитуд и фаз для последовательности прямоугольных импульсов при Q =2 изображены на рис.3 по значениям, представленным в таблице 1.

Таблица 1

Рис.3