Читайте также:
|
В основе расчета статически неопределимых систем методом перемещений в матричной форме лежит теорема о работе концевых усилий. Поясним сначала содержание и доказательство этой теоремы в общем виде.
В общей форме теорема о работе концевых усилий может быть прочитана так: реакция i-й связи k-го равновесного состояния сооружения равна работе концевых усилий его элементов и взятой с обратным знаком работе узловых сил на перемещениях, вызванных единичным смещением i-й связи.
В дальнейшем за k-е равновесное состояния сооружения будем принимать его основную систему метода перемещений. Рассмотрим сначала определение в матричной форме реакций в наложенных связях основной системы метода перемещений от внешних воздействий (силовых, температурных, кинематических). Используем для решения этой задачи матричное соотношение (8.52), опуская в нем индекс «k»
(8.53)
Элементы матриц R, S, F, a, c, входящих в выражение (8.53), имеют прежний смысл (см. п. 8.11.1), но теперь они определяются для основной системы метода перемещений. Конкретизируем содержание элементов перечисленных матриц для нашего случая.
R – матрица реакций в наложенных связях основной системы метода перемещений от внешних воздействий
Здесь RF, Rt, Rc – реакции в наложенных связях соответственно от силовых, температурных и кинематических воздействий. Число столбцов матричных блоков RF, Rt, Rc определяется числом комбинаций указанных типов воздействий.
S– матрица концевых усилий элементов сооружения в основной системе метода перемещений от внешних силовых, температурных и кинематических воздействий 
– матрица узловых нагрузок в основной системе метода перемещений. В этой матрице отличными от нуля будут элементы только блока F, описывающего силовое воздействие на сооружение. Блоки, соответствующие температурным и кинематическим воздействиям, будут нулевыми. В общем случае матрица имеет вид: 
Напоминаем читателям: равнодействующие Rjy и Rjx нагрузок, приложенные к отдельным элементам, передаются на узлы h, т.е. узлы, расположенные противоположно по отношению к тем сечениям j, где при формировании матрицы фиксировались концевые поперечные силы Qj. Число столбцов в матричных блоках матриц и соответствует числу столбцов в блоках RF, Rt и Rc матрицы R.
a – матрица концевых перемещений стержней в основной системе метода перемещений, вызванных смещением наложенных угловых и линейных связей на величину, равную единице.
с – матрица углов поворота и линейных перемещений узлов в основной системе метода перемещений от смещения наложенных на узлы сооружения связей на величину, равную единице.
Число столбцов в матрицах a и с равно числу угловых и линейных связей, накладываемых на узлы сооружения при образовании его основной системы метода перемещений, т.е. равно степени кинематической неопределимости сооружения.
Далее рассмотрим определение в матричной форме реакций в наложенных угловых и линейных связях в основной системе метода перемещений от смещения этих связей на величину, равную единице. Если степень кинематической неопределимости сооружения равна n, то матрица реакций в наложенных связях запишется в общем виде:
где rij – реакция в i-й наложенной связи от смещения j-й наложенной связи на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений.
Для вычисления элементов матрицы r используем соотношение (8.53). Теперь в нем 
, так как в рассматриваемом равновесном состоянии узловые силы отсутствуют. Введя другие обозначения (r вместо R и вместо), получим:
(8.54)
В матричной зависимости (8.54) – матрица концевых усилий стержней сооружения в основной системе метода перемещений от смещения наложенных на узлы связей на величину, равную единице. Эту матрицу можно представить в виде произведения
(8.55)
где K – матрица концевых усилий стержней от единичных перемещений их концевых сечений в основной системе метода перемещений. Так как в основной системе метода перемещений мы имеем набор ограниченного количества стандартных стержней, элементы матрицы K для каждого стержня из этого набора могут быть получены заранее. Матрица K для всего сооружения запишется
(8.56)
В матрице (8.56) блок Кj – это стандартная матрица внутренней жесткости j-го стержня.
После подстановки соотношения (8.55) в матричную зависимость (8.54) получим
(8.57)
Квазидиагональная матрица K называется матрицей внутренней жесткости сооружения.
Дата добавления: 2015-02-22; просмотров: 188 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |