Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

Критерий позволяет проверить гипотезу о том, что среднее значения двух генеральных совокупностей, из которых извлечены независимые выборки отличаются друг от друга.

Проверяемые гипотезы:

H₀: M₁=M₂ H₁: M₁≠M₂

Требования к выборкам

1. одна выборка извлекается из одной генеральной совокупности, а другая выборка, независимая от первой, извлекается из другой генеральной совокупности;

2. распределение изучаемого признака и в той и в другой выборке приблизительно соответствуют нормальному;

3. дисперсии в двух выборках примерно одинаковы или гомогенны.

Ограничения:

1. распределение признака и в той, и в другой выборке существенно отличаются от нормального = альтернативные методы

2. разная численность - применяется, если дисперсии достоверно не различаются

Формула расчета:

(1)

(2),

Первая формула применяется для приближенных расчетов, для близкий по численности выборок, а Вторая формула для точных расчетов, когда выборки незаметно отличаются друг от друга.

Рассмотрим пример расчета для сравнения стрессоустойчивости для двух профессий: учителя и менеджера по продажам для двух групп (n₁=32, n₂=32).

Выдвинем нулевую гипотезу

H₀: M_{учителя}=M_{менеджеры} –средние значения показателя стрессоустойчивости в группе учителей и менеджеров не отличаются

H₁: M_{учителя}≠M_{менеджеры} средние значения показателя стрессоустойчивости в группе учителей и менеджеров отличаются

Произведем необходимые расчеты. Для этого постоим таблицу:

Таблица 1.

Расчет среднего и дисперсии

1. Находим выборочные средние

2. Находим значение стандартного отклонения, так как в формуле это значение дано в квадрате, но нет необходимости извлекать корень.

3. Вычисляем эмпирическое значение критерия:

Таким образом, t_эмпир=5,138.

4. Определяем по таблице критических значений критерия t-Стьюдента p-уровень значимости.

Для этого рассчитываем количество степеней свободы

Смотрим табличные значения

5. Сравниваем эмпирическое и критическое значения критерия

Полученное нами значение попадает в зону значимости, то есть t_эмп=5,138> t_крит=3,454 при р≤0,001, то есть отклоняется нулевая гипотеза и принимается альтернативная гипотеза о наличии различий в уровне стрессоустойчивости менеджеров и учителей.

6. Принимаем статистическое решение и формулируем выводы.

U-критерий Манна – Уитни

Непараметрические аналоги параметрических методов применяются тогда, когда не выполняются основные положения, лежащие в основе параметрических методов сравнения средних.

Условия, при которых применение непараметрических методов является оправданным следующие:

1.есть основания полагать, что распределение значений признака в генеральной совокупности не соответствует нормальному закону распределения;

2.есть сомнения в нормальности распределения признака в генеральной совокупности, но выборка слишком мала, чтобы по выборочному распределении судить о распределении в генеральной совокупности;

3. не выполняется требование гомогенности дисперсий при сравнении средних значений для независимых выборок.

В случае, если размер выборки очень велик – более 100 – то непараметрические методы сравнения использовать нецелесообразно, даже если не выполняется ряд исходных предположений применения параметрических методов. Если же объем выборок крайне мал – 10 и менее – то результаты применений непараметрических выборок можно рассматривать как презварительные.

Так же, как и при применении параметрических методов обычно применяются ненаправленные гипотезы.

U - rритерий позволяет проверить гипотезу о том, насколько совпадают или пересекаются два рядя значений измеренного признака. Основная идея основана на представлении всех значений двух выборок в виде одной общей последовательности упорядоченных значений. Основной гипотезе будет соответствовать ситуация, при которой значения одной выборки будут равномерно распределены среди значений другой выборки, то есть когда два ряда значений пересекаются в наиболее возможной степени. Напротив отклонению гипотезы происходит если пересечение двух рядов будет минимальным.

Проверяемые гипотезы:

H₀: M₁=M₂ H₁: M₁≠M₂

Требования к выборкам

1. одна выборка извлекается из одной генеральной совокупности, а другая выборка, независимая от первой, извлекается из другой генеральной совокупности;

2. распределение изучаемого признака и в той и в другой выборке не соответствуют нормальному;

3. дисперсии в двух выборках не гомогенны;

4. данные измерены в ранговой шкале.

Ограничения:

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n , n ≥ 3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n , n ≤ 60. Однако уже при n , n = 20 ранжирование становиться достаточно трудоёмким.

Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: разница между показателями субтеста осведомленности у мальчиков и девочек значимо не отличается от нуля.

Н₁: разница между показателями субтеста осведомленности у мальчиков и девочек значимо отличается от нуля.

Алгоритм расчета U - критерия:

1. Перенести все данные испытуемых в таблицу (на индивидуальные карточки.)

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, а карточки 2 выборки – другим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы работали с одной выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получиться столько, сколько (n + n ).

Правила ранжирования

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений..

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле:

Сумма рангов ΣR_i= N(N + 1) / 2

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений).

Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу,необходимо найти ошибку и устранить ее.

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения.

6. Подсчитать сумму рангов отдельно на карточках в выборке 1 и в выборке 2. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчётной.

ΣR_жен+ ΣR_муж=149,5+60,5=210

7. Определить большую их двух ранговых сумм.

Большая ранговая сумма в группе девочек ΣR_жен=149,5

8. Определить значение U по формуле:

Значение U определяется по формуле:

где n₁ – объем первой выборки;

n₂ – объем второй выборки;

Т_х – большая из ранговых сумм;

n_x – объем группы с большей суммой рангов.

9. Определяем по таблице критических значений критерия

Согласно таблицам критических значений, при n₁=13 и n₂=7, U_кр (для p ≤ 0,05) = 20 и U_кр (для р ≤ 0,01) = 13.

10. Сравниваем эмпирическое и критическое значения критерия

Критерий Манна-Уитни отличается от большинства других критериев тем, что для опровержения нулевой гипотезы эмпирическое значение должно быть меньше или равно критическому (подобная закономерность типична также для Т-критерия Вилкоксона и критерия знаков G). То есть, используется следующий принцип:

U_эмп ≤ U_кр  Н₁!

11. Принимаем статистическое решение и формулируем выводы

В нашем случае U_эмп = 32,5. То есть, U_эмп ≥ U_кр (p ≤ 0,05)  Н₀! Таким образом, достоверность различий между показателями осведомленности у мальчиков и у девочек не установлена.