Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пружинный маятник

§ Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

§ Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

§ В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

§ Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

§ Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет

§ Круговая частота ω₀ свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

§ откуда

§ Частота ω₀ называется собственной частотой колебательной системы.

§ Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

§ При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x ₀, равную

§ и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω₀ и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

§ Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

§ Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

§ или

(*)

§ где

§ Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

§ Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω₀ или период T. Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда x _m и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

§ Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δ l и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x _m = Δ l, φ₀ = 0.

§ Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то ,

§ Таким образом, амплитуда x _m свободных колебаний и его начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями.