Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ответ №17

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д. Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. Для груза на пружине (см. §2.2):

Для малых колебаний математического маятника (см. §2.3):

Здесь hm – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, xm и υm = ω0xm – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости. Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение x(t) груза из положения равновесия и его скорость υ(t) изменяются со временем по законам:

Следовательно,

На рис. 2.4.1 изображены графики функций Ep(t) и Ek(t). Потенциальная и кинетическая энергии два раза за период колебаний достигают максимальных значений. Сумма остается неизменной.

1

Рисунок 2.4.1. Превращения энергии при свободных колебаниях.

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).

2

Рисунок 2.4.2. Затухающие колебания.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω₀ свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

Амплитуда вынужденных колебаний x _m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω₀ и ω и от амплитуды < m >m>y_m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω₀, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы приω << ω₀ стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω₀, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды x _m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда x _m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y _m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.