Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Геом.вектор. Вектор АВ^-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р.

Длина в-ров |АВ|= кв.корень х²+у²

В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0.

Вектором,противоп-м в-ру а^->, наз-сяпроизвед.в-ра а^->на ч-ло (-1),т.е. - а^-> =(-1) а^->.

Координатами в-ра а^-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z).

В-р а^-> = (x;y;z) мож.б.записан в виде а^-> = хi^-> +yj^->+zk^->. i^->,j^->,k^-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi^->,уj^->,zk^-> - компоненты в-ра.

Операции над в-ми:

1) Суммой двух в-ров а^->иb^->наз-ся в-р с^->=а^->+ b^->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а^->, а конец – с концом в-ра b^->при усл.,что нач.в-ра b^-> совп.с концом в-ра а^->.

Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а^->и b^-> по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра.

2) умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а^-> на ч-ло У наз-ся в-р b^->=Уа^->, имеющий длину |b^->|=|У||а^->|, направление кот.совп.с направл.в-ра а^->, если У<0.) Если b^->= а^->Y,то а^->|| b^->. И наоб.,если а^->|| b^->( а^->не=0),то b^->= а^->Y.

3) Разностью 2-х в-ров а^->и b^-> наз-ся сумма в-ра а^-> и в-ра -b^->, противоположного b^->.

||Скалярным произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а^-> * b^-> *cosф, где ф-угол между в-рами а^-> и b^->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0.

|| n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х₁,х₂,..,х_n),где числа х₁,х₂,х₃,..х_n компоненты в-ра.

Равенство в-ров. Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если х_i=у_j, i=1,2,…,n.

Суммой 2-х в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.z_i=x_i+y_i,i=1,2,...,n.

Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. u_i = Yx_i, i=1,2,...,n.

Линейные оп-ции над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1) х+у=у+х – коммутативное, 2) (х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3) альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4) альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5) (альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6) сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7) для люб.в-ра сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8) 1*х=х для люб.в-ра х.

Опр.: ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам.

n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов.

Вектор а _m наз-ся линейной комб-ей в-ров а₁,а₂,..,а_m в-рного простр-ва R ,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y₁a₁+ Y₂a₂+...+Y_m-1a_m-1, где Y₁,Y₂,...,Y_m-1 – какие угодно действит.ч-ла.

Опр.: В-ры а₁,а₂,…,а_m в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y₁a₁+Y₂a₂+...+ Y_ma_m=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ.

Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ.