Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метода итераций (метод Якоби)

Существует сиcтема A·x = f (1), где матрица A = [a_ij] (i, j = 1, 2, …m) имеет обратную матрицу; x = (x₁, x₂, x₃,… x_m) – вектор неизвестных, f – вектор свободных членов. Систему (1) нужно преобразовать к следующему виду: (2) i=1, 2,…, m, где , , при этом aii 0.

Значение суммы считается равным 0, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Тогда при i=1 уравнение имеет вид: (3). В методе Якоби исходят из записи системы в виде (2), итерации при этом определяют следующим образом: , (n=0, 1, …, n0, i=1, 2, …, m) (4).

Начальные значения – (i=0, 1, …, m) задаются произвольно (в программе мы это проделываем, вводя функцию по генерации случайных чисел – «random»). Окончание итерационного процесса определяют либо заданием максимального числа итераций n₀, либо следующим условием: , где >0. В качестве нулевого приближения в системе (4) примем .

Если последовательность приближений x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_m⁽⁰⁾, x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_m⁽¹⁾,…, x₁^(k), x₂^(k),…, x_m^{(k )} имеет предел , , то этот предел является решением системы (2).

Достаточным условием сходимости решения системы (1) является то, что матрица A является матрицей с преобладающими диагональными элементами, то есть , i=1, 2, …, m.

8.Метод Зейделя-итерации. Метод решения задачи называют итерационным, если в результате получают бесконечную последовательность приближений к решению. Основное достоинство итерационных методов состоит в том, что точность искомого решения задается. Число итераций, которое необходимо выполнить для получения заданной точности , является основной оценкой качества метода. По этому числу проводится сравнение различных методов.

Главным недостатком этих методов является то, что вопрос сходимости итерационного процесса требует отдельного исследования. Примером обычных итерационных методов служат: метод итераций (метод Якоби), метод Зейделя, метод верхних релаксаций.

Теперь рассмотрим второй итерационный метод – метод Зейделя, который является модификацией метода Якоби. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1) – го приближения неизвестной x _i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения (x₁ x₂,…, x_i-1).

Пусть дана приведенная линейная система: (i = 1, 2, …n) (5). Выбираются произвольно начальные приближения корней x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_n⁽⁰⁾, чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным x₁, x₂, x₃,…, x_n.

Предполагается, что k-е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода строится (k+1) – е приближение по следующим формулам:

Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (5) – по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения (6) так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов: .

9.Аппроксимация. При изучении зависимостей между величинами важной задачей является приближенное представление (аппроксимация) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод её решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.