Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Глобальная интерполяция

Читайте также:
  1. Аппроксимация, интерполяция и экстраполяция функций
  2. Глобальная компьютерная сеть Интернет.
  3. ГЛОБАЛЬНАЯ ЦЕЛЬ ДИСЦИПЛИНЫ
  4. Интерполяция
  5. Интерполяция и экстраполяция.
  6. Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Линейный подход.
  7. Интерполяция, экстраполяция и прогнозирование
  8. Интерполяция, экстраполяция, аналитический метод выравнивания рядов динамики
  9. Нато как глобальная военно-политическая организация

В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [a, b], т.е. строится полином, который используется для интерполяции функции f(x) на всем интервале изменения аргумента x. Будем искать интерполирующую функцию в виде полинома (многочлена) m–ой степени Pm(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+am xm. Какова должна быть степень многочлена, чтобы удовлетворить всем условиям интерполяции? Допустим, что заданы две точки: (x0, f0) и (x1, f1), т.е. N=1. Через эти точки можно провести единственную прямую, т.е. интерполирующей функцией будет полином первой степени P1(x)=a0+a1x. Через три точки (N=2) можно провести параболу P2(x)=a0+a1x+a2x2 и т.д. Рассуждая таким способом, можно предположить, что искомый полином должен иметь степень N.

Для того, чтобы доказать это, выпишем систему уравнений на коэффициенты. Уравнения системы представляют собой условия интерполяции в при каждом x=xi:

Данная система является линейной относительно искомых коэффициентов a0, a1, a2,…, aN. Известно, что СЛАУ имеет решение, если ее определитель отличен от нуля. Определитель данной системы

носит имя определителя Вандермонда. Из курса математического анализа известно, что он отличен от нуля, если xk≠ xm (т.е. все узлы интерполяции различные). Таким образом, доказано, что система имеет решение.

Мы показали, что для нахождения коэффициентов
a0, a1, a2,…, aN надо решить СЛАУ, что является сложной задачей. Но есть другой способ построения полинома N–й степени, который не требует решения такой системы.

Локальная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки М(xi, yi) (i = 0, 1,..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках (Рисунок 3).

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (xi , xi + 1), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i - го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi , yi) и (xi + 1, yi + 1), в виде:

 

Отсюда

  (20)

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (20) и найти приближенное значение функций в этой точке.




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 39 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав