Читайте также:
|
При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
22х - 8х+1 = 0
Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что
8 = 23
Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:
8х+1 = (23)х+1
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
(аn)m = anm,
то вообще отлично получается:
8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
22х - 23(х+1) = 0
Переносим 23(х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
22х = 23(х+1)
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
2х = 3(х+1)
Решаем этого монстра и получаем
х = -3
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
54; 210; 73; 35; 27; 102; 26; 33; 23; 21; 36; 29; 28; 63; 53; 34; 25; 44; 42; 23; 93; 45; 82; 43; 83.
Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 26, 43, 82 - это всё 64.
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
32х+4 -11·9х = 210
И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:
9х = (32)х = 32х
По тем же правилам действий со степенями:
32х+4 = 32х·34
Вот и отлично, можно записать:
32х·34 - 11·32х = 210
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 32х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
32х(34 - 11) = 210
Что ещё можно сделать? Посчитать выражение в скобках:
34 - 11 = 81 - 11 = 70
Пример становится всё лучше и лучше!
70·32х = 210
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
32х = 3
Оп-па! Всё и наладилось!
32х = 31
2х = 1
х = 0,5
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 157 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Решение простейших показательных уравнений. | | | Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры. |