Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Некоторые определения и понятия из высшей алгебры

Множество G называется группой, если для любой пары элементов из G определена операция * и выполняются следующие 4 аксиомы.

1. Замкнутость: для любых a и b из G элемент a * b принадлежит G.

2. Ассоциативность: для любых a, b и g из G выполняется следующее: a*(b*g) = (a*b)*g.

3. G содержит единственный элемент e, называемый единицей группы, такой, что для любого a из G е *a = a* e = a.

4. Для любого элемента a из G существует единственный обратный элемент a^-1, принадлежащий G и называемый элементом, обратным элементу a. При этом выполняется следующее: a * a^-1 = a^-1 *a = e.

Группа G называется абелевой, если выполняется следующая аксиома:

Коммутативность: для любых a и b из G a *b = b *a.

Если операцией * является сложение, то группа G называется аддитивной. В этом случае единичный элемент называется нулем, обозначается символом 0 (0 + a = a + 0 = a). Oбратный a элемент обозначается - a.

Если операцией * является умножение, то группа G называется мультипликативной и единичный элемент обычно обозначается символом 1.

Порядком элементаa мультипликативной группы называется наименьшее число i такое, что aⁱ = aa... a =1.

Некоторое подмножество элементов группы G называется подгруппой, если оно удовлетворяет всем свойствам группы относительно операции *.

Например, множество всех положительных и отрицательных целых чисел и нуль составляют аддитивную абелеву группу относительно операции сложения. Подмножество всех целых чисел, кратных заданному числу m, составляет подгруппу группы G.

Множество R называется кольцом, если для любой пары элементов из R определены операции сложение и умножение и выполняются следующие аксиомы:

1. R является аддитивной абелевой группой.

2. Замкнутость: для любых a и b из R элемент ab принадлежит R.

3. Ассоциативность: для любых a, b и g из R a(bg) =(ab)g.

4. Дистрибутивность: a(b + g) = ab + ag и (b + g)a = ba+ ga.

Koльцо называется коммутативным, если для любых a и b из R выполняется ab = ba.

Подгруппа I аддитивной группы R называется идеалом, если для любого a из R и любого bиз I элемент ab принадлежит I.

Идеал, состоящий из всех элементов, кратных некоторому элементу a кольца называется главным идеалом и обозначается (a). Элемент a называется образующей идеала. Кольцо, в котором каждый идеал главный, называется кольцом главных идеалов.

Коммутативное кольцо F называется полем, если выполняется следующее:

1. Существует элемент 1 такой, что для любого a из F выполняется 1a = a1 = a.

2. Для любого ненулевого a из F существует обратный ему элемент a^-1, также принадлежащий F, такой, что aa^-1 = a^-1a =1.

3. Если a и b - элементы поля F, то ab = 0 тогда и только тогда, когда a= 0 или b = 0.

Например, если p – простое число, то кольцо чисел по модулю p является полем. Это поле обозначается GF(p) и называется конечным коммутативным полем Галуа.

Конечное поле содержит конечное число элементов и в нем определены две операции сложение и умножение и нет делителей нуля.
Пример: Совокупность всех действительных чисел является полем, так же, как и совокупность всех рациональных чисел, и совокупность всех комплексных чисел.

4.3.2. Многочленом (полиномом) относительно x над полем F называется выражение

f(x) = a₀ + a₁×x + a₂×x² +a₃×x³ +... + a_n×xⁿ, где коэффициенты a_i принадлежат полю F.

Множество всех многочленов над полем F с определенными в поле операциями сложения и умножения многочленов составляют кольцо (F[x]).

Многочлен степени n, который не делится ни на какой многочлен степени, меньшей, чем n, но большей, чем 0, называется неприводимым.

Любой многочлен f(x), не делящийся на x, является делителем многочлена xⁱ – 1для некоторого целого числа i. Наименьшее такое положительное число i называется показателем, которому принадлежит многочлен f(x).

Для любого n и любого простого p существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n, принадлежащий показателю pⁿ – 1.

Если p(x) – неприводимый многочлен над полем GF(p), то кольцо многочленов над полем GF(p) по модулю p(x) является полем. Если степень многочлена p(x) равна n, то это поле состоит из всех pⁿ многочленов, степени которых не превышают n-1.

Определение: Полем Галуа GF(pⁿ) является кольцо многочленов над полем GF(p) по модулю неприводимого многочлена степени n.

Поле Галуа содержит pⁿ элементов, включая нулевой элемент. Все pⁿ-1 ненулевых элементов поля Галуа являются корнями многочлена x^М-1(М=pⁿ -1).

В поле Галуа GF(pⁿ) существует примитивный элемент, т.е. элемент порядка pⁿ-1.

a, a²,... a ^M =1.

Этот элемент является корнем неприводимого многочлена степени n, являющегося делителем многочлена x^M– 1 (где M= pⁿ - 1) и не являющегося делителем никакого другого многочлена x^Q – 1, при Q< pⁿ-1. Такой многочлен называют примитивным многочленом или многочленом, принадлежащим максимальному показателю.

Пример1: Поле Галуа GF(2⁴) из 2⁴ элементов может быть образовано, как поле многочленов над GF(2) по модулю 1 + x + x⁴. Пусть a является корнем многочлена 1 + x + x⁴ в расширении поля Галуа и примитивным элементом.

Все 15 ненулевых элементов поля приведены в таблице (Taб. 15).

Таб.15

Пример2. В поле Галуа по модулю простого числа p также существует примитивный элемент (может и не один).

Рассмотрим поле по модулю числа 5 – { 0,1,2,3,4). Элемент поля 3 будет примитивным, т.к. 3⁰ =1, 3¹ = 3, 3² = 4, 3³ = 2, 3⁴ = 1, 3⁵ = 3 и т.д.

Другой пример: поле по модулю 7 - { 0,1,2,3,4,5,6).

Примитивным элементом является элемент поля 5: 5⁰ =1, 5¹ =5, 5²=4, 5³=6, 5⁴=2, 5⁵ = 3, 5⁶ = 1, etc.

Другим примитивным элементом является элемент 3.