Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Производные высших порядков

Пусть f(x,y) — функция двух переменных x, у, определенная в некоторой окрестности точки (х_о, у_о). Если существует конечный предел

то говорят, что функция f\x,y) имеет в точке (х_о, у_о) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная по у. Обозначают

Пусть f(x), x = (x₁, x₂, …, x_n) Î G Ì Rⁿ — функция п переменных, определенная в области G п -мерного пространства Rⁿ.

Частной производной функции f(x₁, x₂, …, x_n) по переменной x, называется конечный предел

Обозначаем

Для приращения дифференцируемой функции f(x₁, x₂, …, x_n) спра­ведливо равенство

Если в пространстве Rⁿ задан единичный вектор

то изменение дифференцируемой функции f(x) в направлении l харак­теризуется производной по направлению:

где (grad f, l) — скалярное произведение вектора

на вектор направления l

Поскольку — , где j — угол между векторами grad f и l, то вектор grad f указывает направление наискорейшего возрастания функции f(x).

Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим частные производные второго порядка:

Если смешанные производные и непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются производные более высоких порядков: