Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Методические рекомендации по выполнению графической работы

«Пересечение поверхностей».

4.1 Взаимное пересечение поверхностей.

Форма большинства оригинальных деталей, приборов и машин образована совокупностью элементарных геометрических тел, кото­рые определенным образом пересекаются между собой.

При пересечении поверхностей вращения чаще всего имеют ме­сто пространственные кривые и только в особых случаях - плоские кривые.

При выполнении изображений линия пересечения не замеряют с натуры, а строят непосредственно на чертеже.

В общем случае линию пересечения двух поверхностей вращения строят по ее отдельным точкам, каждая из которых принадлежит одновременно обеим поверхностям. Затем полученные точки соединя­ют плавной кривой линией и обводят ее по лекалу.

Для построения этих точек применяют способ поверх­ностей-посредников (способ вспомогательных секущих плоскостей или способ вспомогательных сфер).

Заданные поверхности пересекают некоторой вспо­могательной поверхностью и определяют линии пересечения ее с задан­ными поверхностями. В пересечении этих линий получают точки, при­надлежащие искомой линии пересечения.

Алгоритм решения

Предположим, даны две произвольные поверхности Ψ и Θ. Нуж­но построить линию их пересечения, т.е. точки, принадлежащие линии их пересечения (рис. 3).

1. Вводим вспомогательную секущую поверхность - посредник Ώ (при пересечении ее с задан­ными поверхностями должны получаться графически простые линии - прямые или окружности).

2. Определяем линии пересечения поверхности, посредника с за­данными:

Ψ ∩ Ώ = l и Θ ∩ Ώ = т.

3. Определяем точки линии пересечения. Они находятся на пе­ресечения построенных линий:

т ∩ n = M,N.

Рис. 3

Этот алгоритм следует повторить многократно, пока не будет построено до­статочное количество точек для построения искомой линии. Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы. В зависимости от этого различают следующие способы постро­ения точек линии пересечения двух поверхностей: способ вспомога­тельных плоскостей и способ вспомогательных сфер.

Какому из них следует отдать предпочтение, в каждом конкретном случае решается отдельно. Если задача может быть решена несколькими спо­собами, то предпочтение следует отдать способу, который дает бо­лее простое, следовательно, и более точное решение. Каким бы способом ни производилось построение линии пересе­чения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность.

Среди точек линии пересечения имеются такие точки, которые выделяются из других точек какими-либо своими особыми свойствами. К этим точкам относятся экстремальные точки и точки види­мости.

Экстремальными точками являются высшая и низшая точки линии пересечения, а также самая ближняя, самая дальняя, самая левая и самая правая точки пересечения.

Точками видимости являются точки, которые расположены на контурной линии поверхности. Проекции этих точек лежат на соответствующем очерке поверхности.

Точки видимости разграничивают линию пересечения поверхностей на видимую и невидимую части.

Экстремальные точки и точки видимости являются опорными точками, в отличие от которых остальные точки называются произвольными или случайными.

В первую очередь определяют опорные точки, так как они всегда позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии, пересечения и где между ними имеет смысл определять случайные точ­ки для более точного построения линия пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять тогда, когда обе поверхности вращения можно пересечь по графически простым линиям (прямым или окружностям), некоторой совокупностью проецирующих плоскостей или совокупностью плоскостей уровня.

Способ вспомогательных сфер целесообразно применять для построения линии пересечения таких поверхностей вращения, оси которых пересекаются и образуют пло­скость, расположенную параллельно какой-либо плоскости проекций.

Заметим также, что если одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей цилиндрической поверхностью, то построе­ние линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна из проекций линии пересечения совпадает с очерком цилиндрической поверхности (свойство проецирующей поверхности).

Рис. 4

На рис. 4 заданы две пересекающиеся цилиндрические поверх­ности. Каждая из них занимает проецирующее положение: поверх­ность Q ^ P ₁, поверхность D ^ P₃. Следовательно, проекции линии пе­ресечения A₁C₁B₁D₁ и A₃C₃B₃D₃ совпадающие с очерком проекций поверхностей, известны. Требуется построить ее фрон­тальную проекцию.

Фронтальные проекции A₂, B₂ опорных точек А и В определяются пересечением очер­ковых образующих, а проекции C₂ , D₂ опорных точек C и D - с помощью линий проекционной связи с проекциями C₁ , D₁ и C₃ , D₃. Аналогично построены также промежу­точные точки 1,2, 3, 4.

4.1.1 Определение линии пересечения способом параллельных плоскостей.

Как было указано выше, построение точек пересечения двух по­верхностей способом параллельных плоскостей состоит в проведении вспомогательных плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым и окружностям). Пересечение этих линий дает точки, принадлежащие искомой линии пересечения поверхностей.

Пример: Построить линию пересечения полусферы W с цилиндром вращения Y (l, i) (рис. 5).

Решение.

На рис. 5 выполнено построение линии пересечения сферы с горизонтально проецирующим цилиндром.

1. Полусфера и цилиндр имеют общую плоскость симметрии Ф(Ф₁) параллельную плоскости П₂.

2. Сфера пересекается любой плоскостью по окружности. Ци­линдр пересекается по прямым (образующим), если плоскость парал­лельна оси вращения цилиндра. Ось вращения i цилиндра параллельна фронтальной плоскости проекций i || П₂. Следовательно, в качестве вспомогательных плоскостей, для построения линии пересечения поверхностей, целесообразно выбрать фронтальные плоскости уровня Ф, Ф′, Ф′′ и т.д.

3. Определяем опорные точки А,В на пересечении главных меридианов (фронтальных очерков), так как поверхности имеют общую плоскость симметрии. Во фронтальной плоскости проекций обозначим проекции А₂ , В₂ точек А и В.

Затем по линиям связи определим горизонтальные проекции А₁, В₁ точек А и В, исходя из условия принадлежности их плоскости Ф. Точки А и В являются одновременно и экстремальными – высшей и низшей точками пересечения относительно П₁, а также точками границы видимости линии пересечения на плоскости П₂. Профильные проекции А₃ и В₃ находим по проекционным связям.

4. Определяем опорные точки С,D – экстремальные точки (наиболее и наименее удалённые от плоскости П ₂), которые находятся в плоскостях Ф¢¢ и Ф**, касательных к поверхности цилиндра. В горизонтальной плоскости проекций обозначим проекции C₁, D₁ и по линиям связи определим фронтальные проекции С₂ и D₂ точек C и D, исходя из условия принадлежности их фронтальным плоскостям уровня Ф¢¢и Ф**, пересекающим поверхность сферы по окружностям m¢¢ и m** (графически простым линиям). Профильные проекции С ₃ и D₃ находим по проекционным связям.

Точки С и D, разделяют профильную проекции линии пересечения на видимую и невидимую части.

Рис. 5

5. Для построения промежуточных точек 1, 2 и 3, 4¢ в качестве вспомогательных выбраны фронтальные плоскости уровня Ф¢ и Ф*, которые пересекает сферу по окружностям m¢ и m*, а цилиндр по образующим l, l¢, l*, l¢* (горизонтально проецирующим прямым, принадлежащим фронтальным плоскостям уровня Ф¢ и Ф*). Горизонтальные проекции 1₁,2₁ и 3₁,4₁ промежуточных точек определяем на пересечении горизонтального очерка цилиндра и проекций плоскостей уровня Ф₁¢ и Ф₁*. По линиям связи определим фронтальные проекции 1₂, 2₂ и 3₂, 4₂, на пересечении фронтальных проекций образующих, по которым плоскости Ф ¢ и Ф* пересекают цилиндр и фронтальных проекций окружностей по которым вспомогательные плоскости Ф ¢ и Ф* пересекают сферу.

Для построения промежуточных точек, позволяющих выполнить построение линии пересечения более точно, дополнительно выбраны вспомогательные фронтальные плоскости уровня на рис.дж.5, они не обозначены.

6. Соединяем построенные точки плавной линией, невидимый участок обводим штриховой линией.

4.1.2 Применение вспомогательных концентрических сфер.

Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используется для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. Таким образом, сфера рассечет поверхность вращения по окружности, если центр ее расположен на оси вращения поверхности, а две пересекающиеся по­верхности вращения сфера рассечет по окружностям, если центр сферы находится в точке пересечения их осей вращения.

Способ вспомогательных концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей при следующих условиях:

1) обе пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

2) если оси поверхностей пересекаются, а точка их пересечения принимается за центр вспомогательных концентрических сфер;

3) плоскость, образованная пересекающимися осями вращения расположена параллель­но одной из плоскостей проекций. В случае, если это условие не соблюдается прибегают к преобразованию чертежа, чтобы это условие обеспечить.

Пример. Построить линии пересечения поверхно­стей вращения – конуса и прямого кругового цилиндра. На рис.6 заданы пересекающиеся поверхности - цилиндр и конус, оси которых пересекаются в точке О(О₂), а образуемая ими плоскость симметрии Г(i ∩ j) параллельна плоскости П₂:

О = i ∩ j; Г(i ∩ j) || П₂.

Решение.

1. Центр вспомогательных сфер находится в точке пересечения осей конуса и цилиндра О(О₂).

2. Опорными точками этой линии пересечения являются точки А(А₂), D(D₂) – низшая точка, В(В₂) – высшая точка и С(С₂), которые определяются точками пересечения очерковых образующих обеих поверхностей. Проекции А₂, В₂, D₂ и С₂ определяются точками пересеченияфронтальных проекций очерков(главных меридианов) конуса и цилиндра, лежащих в плоскости

Ф ≡ Г(i ∩ j) || П₂.

3. Находим диапазон радиусов вспомогательных сфер, полезных для определения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R _max равен расстоянию от центра до наиболее удаленной опорной точки D, в данном случае отрезок О₂D₂ = R _max.

Радиус минимальной сферы R _min определяем с помощью норма­лей (перпендикуляров), опущенных из центра О(О₂) на очерковые образующие заданных поверхностей. Больший из них и будет R _min, = О₂ N₂ > О₂M ₂.

В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей (цилиндра), а со второй (конусом) - пересекаться. Если же взять в качестве R _min, меньший отрезок, то однаиз заданных поверхно­стей с такой сферой не пересечется.

Рис.6

Зона, заключенная между сферами R _min и R _max, называется зоной полезных сфер. В пределах зоны полезных сфер любая вспомо­гательная сфера радиуса R (R _max > R > R _min) рассечет обе поверхности по окружностям, точки пересечения которых, принадлежат линиям пересечения поверхностей

4. В рассматриваемом примере сфера минимального радиуса ка­сается поверхности цилиндра по окружности, которая проецируется на плоскость П₂ в виде отрезка прямой N₂K₂ и пере­секает поверхность конуса по окружностям m(m₂) m′(m′₂) с радиусами r и r′ соответственно, которые проецируется на плоскость П₂ в виде отрезков прямых m₂ и m′₂. Полученные проекции точек пере­сечения этих окружностей 1₂ =1′₂ и 2₂ = 2′₂ будут принадлежать проекциям искомой линия пересечения:

m₂ ∩ N₂ K₂ = 1₂ = (1′₂); m′₂ ∩ N₂ K₂= 2₂= (2′₂).

Главная меридиальная плоскость конуса и цилиндра – Ф(Ф₁) ≡ Г(i ∩ j), параллельная плоскости проекций П₂, разделяет фронтальные проекции линии пересечения на видимую и невидимую части.

На фронтальной плоскости проекций видимая и невидимая части линий пересечения слива­ются.

5. Для более точного построения проекций линии пересечения поверхностей проведём сферу радиуса R (R _max > R _сф > R _min) и определим проекции промежуточных точек, используя методику рассмотренную выше. Эта сфера пересекает конус по окружности m′′ (m′′₂) радиуса r′′, проекцией которой на плоскость P₂ является отрезок m′′₂, и пересекает цилиндр по окружностям, проекциями которых на плоскость P₂ являются отрезки прямых. Пересечение фронтальных проекций полученных окружностей, принадлежащих поверхности цилиндра, с проекцией m′′₂ даёт фронтальные проекции промежуточных точек искомой линии пересечения: 3₂ = 3′₂ , 4₂ = 4' см. (рис. 6).

С помощью сфер, расположенных в пределах полезной зоны, найдены проекции других промежуточных точек, позволяющие более точно определить характер линии пере­сечения поверхностей, представляющую собой пространственную кри­вую.

Горизонтальные проекции А₁, В₁, С₁ и D₁ находим по проекционным связям, они принадлежат плоскости Ф(Ф₁), причём Ф ≡ Г(i ∩ j) || П₂.

Горизонтальные проекции 1 ₁ и 1′₁ точек 1, 1′ – определяем на пересечении линии связи проведенной из точки 1₂ = (1′₂) с горизонтальной проекцией окружности m₁ радиуса r с центром в точке О₁. Аналогично определяем горизонтальные проекции 2₁ и 2′₁ точек 2, 2′.

Меридиальная плоскость цилиндра, перпендикулярная плоскости проекций П₂, разделяет горизонтальные проекции линии пересечения на видимую и невидимую части.

6. Соединяем построенные точки плавной линией, невидимый участок обводим штриховой линией.

Приложение 1