Читайте также:
|
Выясним, чем отличается решение произвольной неоднородной системы алгебраических уравнений от решения однородной системы.
Определение. Однородная система линейных алгебраических уравнений называется соответствующей неоднородной системе, если коэффициенты при неизвестных у них одинаковые, а свободные члены неоднородной системы заменены нолями.
Рассмотрим произвольную совместную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:
Пусть у нее в общем случае 
, то есть имеется бесконечное множество решений.
Теорема 4.1. Сумма любого решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с любым решением соответствующей ей однородной системы является решением неоднородной системы.
Доказательство. Возьмем произвольное решение неоднородной системы
и произвольное решение соответствующей ей однородной системы
.
Рассмотрим их сумму 
.
Если данная сумма является решением неоднородной системы, то она должна превратить в тождество любое ее уравнение:
что и требовалось доказать.
Теорема 4.2. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений является решением соответствующей однородной системы.
Доказательство. Возьмем два произвольных решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений:
и 
.
Составим их разность 
.
Подставим полученную разность в любое уравнение неоднородной системы:
Так как левая часть уравнения обратилась в ноль, значит, 
является решением однородной системы, что и требовалось доказать.
Из теоремы 4.2 следует, что если 
, то 
. Иначе говоря, взяв какое-то одно решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений 
и прибавляя к нему разные решения соответствующей однородной системы 
, получим разные решения неоднородной системы, что подтверждается теоремой 4.1.
Следствие. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений равно сумме какого-то частного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы.
Литература
1. Краснов М. Вся высшая математика т.1 изд.2. Едиториал УРСС, 2003. – 328с.
2. Мироненко Е. С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.
4. Шипачев В. С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. – 479с.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 34 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Система однородных линейных алгебраических уравнений | | | Править]Расчёт коэффициентов квадратного уравнения |