Читайте также:
|
Задача о брахистохроне
Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А(0,0) и В(а,b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время?
Искомая кривая и была названа брахистохроной.
Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда 
, где v - скорость движущейся точки, g - ускорение силы тяжести. В то же время
Отсюда
.
Обозначим через Т время, в течение которого материальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим
(1.1)
Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию
u(0) = 0; u(а) = b (1.2)
и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.
Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.
Вариационные принципы механики
Эти принципы широко используются при исследовании и приближённом решении многих задач механики систем с конечным или бесконечным числом степеней свободы, т.е. для сплошных сред. Поясним сказанное на простом примере, который приводит к принципу Гамильтона-Остроградского. Пусть материальная точка массы m может двигаться вдоль оси Oy, причём в процессе движения на эту точку действует направленная по оси Oy сила f(y, t).Тогда движение точки, как известно, определяется вторым законом Ньютона
m 
= f(y, t), (1), где точка сверху означает производную по времени t.
Покажем, что y(t) является экстремалью некоторого интегрального функционала.
Введём функции
, 
Они означают соответственно потенциальную энергию рассматриваемого силового поля f(y, t) и кинетическую энергию материальной точки. В новых обозначениях уравнение (1) можно переписать в виде
(2)
Заметим теперь, что U не зависит от 
, а T — от y, и введём функцию
L(t,y, )=T-U (3)
называемую функцией Лагранжа для рассматриваемой одномерной
механической системы. Тогда уравнение (2) можно переписать в
виде
Отсюда следует, что y = y(t) является экстремалью простейшей
вариационной задачи
, y(
)= 
, y(
)= 
(4)
Интеграл J(y) называют в механике действием.
Сформулируем общий принцип для систем с любым числом степеней свободы, частным случаем которого является задача (4).
Теорема 1 (принцип Гамильтона-Остроградского, или принцип стационарного действия). Если заданы начальное и конечное состояния системы (т.е. моменты времени и положения точек системы в эти моменты), то из всех возможных законов движения системы на самом деле реализуется такой, для которого действие принимает стационарное значение.
Частным случаем теоремы 1 cявляется такое утверждение.
Теорема 2 (принцип минимума потенциальной энергии). В состоянии равновесия, т.е. при отсутствии движения, потенциальная энергия системы принимает стационарное, а в устойчивом случае — минимальное значение.
Заметим в заключение, что в механике сплошных сред и в технике применяются и многие другие вариационные принципы. Например, в электростатике действует принцип Томсона (принцип наименьшей энергии электростатического поля), в теории упругости и, в частности, в теории балок — принцип Кастилиано (принцип минимума работы деформации).
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 160 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |