Читайте также:
|
Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения M требуется найти элемент 
є M, сообщающий функционалу либо минимальное, либо максимальное значение.
, y(x) є M – функциональное множество, которое является линейным пространством:
1) Пространство 
функций y=y(x) непрерывных на [a,b], у которых норма ||y||=max|y(x)|, | 
(x)- 
(x)|<ε.
2) 
– непрерывно дифференцируемых функций
y(x) є 
(
– сильная окрестность
на 
дает сильный min
на дает сильный max
y(x) є 
( – слабая окрестность
на дает слабый min
на дает слабый max
Замечание 1: Достаточным условием сильного экстремума является достаточное условие слабого экстремума.
Замечание 2: Необходимым условием слабого экстремума является необходимое условие сильного экстремума.
Простейшие необходимые и достаточные условия экстремума функционала
Рассмотри наш функционал J на множестве y(x,α) – однопараметрическое семейство с параметром α.
α=0 y(x,0)=y(x) J(y(x,α))=Φ(α)
Функционал два раза непрерывно дифференцируем:
Необходимое условие: Если y=y(x) дает экстремум функционалу J(y(x)), то 
Достаточное условие: Если при этом 
, то на y=y(x) сильный min (если окрестность сильная)
Если 
, то – сильный max.
Уравнение Эйлера-Лагранжа
, 
(1)
F- дважды непрерывно дифференцируема по совокупности аргументов.
дает экстремум функционалу (1).
y(x, 
) – однопараметрическое семейство класса 
η(x)
η(x) 
, α=0 y(x,0)=y(x)= 
Производная от вариации есть вариация от производной 
Теперь используем лемму Лагранжа
,
кривая дающая экстремум обращает тождество в уравнение
(2)
Уравнение (2) называют уравнением Эйлера-Лагранжа.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 193 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |