Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дополнительные задания

Найти обратную матрицу:

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

Найти ранг матрицы:

№119. . Ответ: 2.

№120. . Ответ: 3.

№121. . Ответ: 3.

№122. . Ответ: 2.

Найти ранг матрицы при различных значениях параметра а:

№123. .

Ответ: r =3 при а = ; r =4 при а .

№124. . Ответ: r =2 при а =3; r =3 при а 3.

Решить уравнения:

№125. . Ответ: .

№126. . Ответ: .

№127. . Ответ: .

№128. .

Ответ: .

Выполнить действия:

№129. .

№130. .

№131. .

Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Определители. Матрицы»

Задание 1. Для определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов а_{i 2}, a _{3 j}. Вычислить определитель : а) разложив его по элементам i -й строки; б) разложив его по элементам j– столбца; в) получив предварительно нули в i -й строке. (i =1; j =2).

► Находим миноры для элементов а ₁₂ и а ₃₂:

М ₁₂= = – 8–16+6+12+4 – 16= –18;

М ₃₂= = –12+12 –12 – 8= –20.

Алгебраические дополнения элементов а ₁₂ и а ₃₂ равны:

А ₁₂=(–1)¹⁺² М₁₂ = – (–18)=18;

А ₃₂=(–1)³⁺² М₃₂ = – (–20)=20.

а) Вычислим данный определитель по элементам первой строки:

=

=–3 –2 +1 =

= –3(8+2+4 – 4) – 2(– 8– 16+6+12+4 – 16)+(16 – 12 – 4+32)=38;

б) Разложим определитель по элементам второго столбца:

а ₁₂ А ₁₂ +а ₂₂ А ₂₂ +а ₃₂ А ₃₂ +а ₄₂ А ₄₂=

= –2 – 2 +1 =

= – 2(– 8+6 – 16+12+4 – 16) –2(12+6 – 6 – 16)+

+(– 6+16 – 12 – 4)=38;

в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в первой строке. Используем следствие свойства 4. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на –2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме третьего, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

= = =

= = – (– 56+18) =38. ƒ

Задание 2. Даны две матрицы А = , В = . Найти: а) АВ; б) В^ТА; в) А ^-1; г) АА ^-1; д) А^{- 1} А.

► а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Имеем:

С=АВ = =

= = ;

б) Найдём В^Т = .

Вычислим В^ТА = = .

в) Обратная матрица А ^-1 матрицы А имеет вид:

А ^-1= , где det A = =39 0, т.е. матрица А ^-1 существует. Найдём алгебраические дополнения каждого элемента:

А ₁₁= = – 8; А ₂₁= – =2; А ₃₁= =1;

А ₁₂=– =5; А ₂₂= = –11; А ₃₂= – =14;

А ₁₃= =7; А ₂₃= – =8; А ₃₃= =4.

Тогда А ^-1= = ;

г) АА ^-1= = = Е;

д) А^{- 1} А = = = Е,

т.е. обратная матрица найдена, верно. ƒ

Занятие 4

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ матричным методом. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Общее решение СЛАУ

Цели

Знать:

v Основные определения, связанные с понятием систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);

v теорему Кронекера-Капелли;

v основные методы решения СЛАУ.

Уметь:

v Применять теорему Кронекера-Капелли при исследовании решения СЛАУ;

v решать СЛАУ матричным методом, по формулам Крамера; методом Гаусса и Жордано-Гаусса;

v находить общее и частное решение СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х ₁, х ₂, …, x_n была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы заданной системы и ранг расширенной матрицы заданной системы были равны, т.е. Rang A=Rang =r.

Если RangA=Rang =r и r=n (n — число неизвестных), то заданная система имеет единственное решение.

Если r<n, то система имеет бесконечно много решений, зависящее от (n – r) произвольных параметров.

Постановка задачи: Используя теорему Кронекера-Капелли исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность.

План решения: 1. Записать расширенную матрицу заданной системы;

2. найти ранг полученной матрицы;

3. используя теорему Кронекера-Капелли сделать вывод.

№17. Исследовать систему на совместность

► 1)Составим расширенную матрицу: .

2) Методом элементарных преобразований найдём ранги расширенной и основной матрицы

= , т.е. Rang A =2; Rang =3, следовательно, т.е. система несовместна. ◄

Постановка задачи: решить СЛАУ матричным методом.

План решения: 1. Используя теорему Кронекера-Капелли исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность;

2. записать СЛАУ в матричной форме: АХ=В, где — основная матрица, — матрица-столбец из неизвестных x_j, — матрица-столбец свободных членов b_i.;

3. найдём обратную матрицу для основной матрицы;

4. для отыскания решения системы воспользуемся формулой

(4);

5. записать ответ.

№18. Проверить совместимость системы и в случае совместимости решить её матричным методом:

► 1) Проверим совместимость системы. Составим основную матрицу системы , Rang A =3. Составим расширенную матрицу системы , Rang =3. Следовательно, система совместна. Т.к. r=3, и n =3, то система имеет единственное решение;

2) Запишем СЛАУ в матричной форме , , ;

3) найдем обратную матицу для матрицы А:

;

4) согласно формуле (4) имеем:

;

.

5) решение системы: х ₁=1; х ₂=1; х ₃=1. ◄

Постановка задачи: Проверить совместимость системы и в случае совместимости решить её по формулам Крамера.

План решения: 1. Используя теорему Кронекера-Капелли проверить СЛАУ на совместность;

2. найти определитель основной матрицы системы, а затем вспомогательные определители;

3. воспользоваться формулами Крамера

(5),

где — определитель, полученный из определителя системы путём замены i -го столбца столбцом свободных членов, стоящих в правой части уравнений;

4. записать ответ.

№19. Проверить совместимость системы и в случае совместимости решить её по формулам Крамера:

► 1)Проверим совместимость системы. Основная матрица имеет Rang A =3; расширенная матрица системы имеет Rang =3, т.е. система совместна. Так как r =3, и n =3, то система имеет единственное решение;

2) Найдём основной и вспомогательные определители системы:

, ; ;

;

3) По формулам Крамера (5) имеем:

; ; ;

4) решение системы: x =2; y =3; z =4. ◄

Элементарные преобразования

системы линейных алгебраических уравнений

1. перестановка местами двух или нескольких уравнений;
2. умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число;
4. вычёркивание нулевой строки.

Постановка задачи: Проверить совместимость системы и в случае совместимости решить её методом Гаусса

План решения: 1. Используя теорему Кронекера-Капелли проверить СЛАУ на совместность;

2. выполнить прямой ход метода Гаусса: используя элементарные преобразования СЛАУ преобразовать систему в эквивалентную треугольного вида;

3. выполнить обратный ход метода Гаусса: из последнего уравнения определить неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно — предпоследнее и т.д. Таким образом, подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдём все решения системы;

4. записать ответ.

№20. Проверить совместимость системы и в случае совместимости решить её методом Гаусса:

► 1)Проверим совместимость системы. Ранг основной матрицы системы , RangA =3; ранг расширенной матрицы , Rang =3. Ранги основной и расширенной матрицы равны, следовательно, система совместна. Т.к. r =3, и n =3, то система имеет единственное решение;

2) Прямой ход. Выполним преобразования. Первое уравнение оставим без изменения. Для того чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на –2 в первом случае и на –1 во втором

Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на –2 и прибавим к третьему. Получили эквивалентную систему треугольного вида:

3) Обратный ход. Решаем данную систему снизу вверх. Из третьего уравнения находим х ₃=3 и, подставляя его во второе уравнение, находим х ₂=2. Подставив найденные неизвестные в первое уравнение, получим х ₁=1;

4) Решение системы: х ₁=1; x ₂=2; x ₃=3. ◄

▼ Неизвестное x_k называется разрешённым, если какое-нибудь уравнение системы содержит x_k с коэффициентом единица, а во всех остальных уравнениях системы неизвестное x_k не содержится, т.е. содержится с коэффициентом нуль. ▲

▼ Система уравнений называется разрешённой, если каждое уравнение содержит разрешённое неизвестное. ▲

▼ Общим решением совместной системы уравнений называется равносильная система, в которой разрешённые неизвестные выражены через свободные. ▲

▼ Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение данной системы, называемое частным. ▲

№21. Решить систему:

► Исследуем систему на совместимость: найдем ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы:

.

Следовательно, RangA=Rang =1, т.е. система совместна. Так как n =4, то система имеет бесконечно много решений. Найдём количество свободных элементов: r – n =4 – 1=3.

Используя последнюю матрицу можно составить систему:

которая может быть представлена в виде

х ₁ +х ₂ + 2 х ₃ – х ₄=1,

т.к. последние два уравнения — истинные тождества. В данном уравнении х ₁ и х ₂ — разрешённые элементы. Т.к. свободных элементов три, то общее решение системы имеет вид:

Выбрав t =2, v =1, s = –3, получим частное решение системы:

х ₁= –6; x ₂=2; x ₃=1; х ₄= –3. ◄

№22. Решить систему методом Жордана-Гаусса

► 1. Составим расширенную матрицу системы

≈ .

Преобразуем данную матрицу к диагональному виду. Для этого в качестве разрешающего элемента удобно взять элемент, равный 1, например, а ₁₁=1≠0. Делим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент, т.к. он равен единице, то элементы разрешающей строки не меняются. Разрешающую переменную следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице все элементы (элементы новых матриц обозначим со штрихами) первого столбца кроме а ₁₁ равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

, и т.д.

Новая матрица имеет вид: .

2. В качестве разрешающего элемента в данной матрице берём не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например, а ₂₂= – 5. Делим элементы разрешающей строки на (–5): .

Элементы второго столбца, кроме а ₂₂, берём равными нулю, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника: , и т.д.

Новая матрица имеет вид: .

Для удобства вычислений преобразуем полученную матрицу

.

Выберем в качестве ведущего элемент а ₃₃=1. Элементы третьего столбца кроме а ₃₃, берём равными нулю, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника: ,

и т.д.

Новая матрица имеет вид: .

3. Так как все строки матрицы уже брались в качестве разрешающих, выписываем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

В качестве разрешающих элементов удобно выбрать х ₁; х ₂ и х ₃:

Полагая , получим общее решение системы:

k, p . ◄