Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Остаточное время жизни

Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных. Если человек в возрасте лет обратился в страховую компанию (в актуарной математике такого человека обозначают ), то заведомо известно, что он дожил до лет, и поэтому все случайные события, связанные с этим человеком, должны рассматриваться при условии, что .

Для человека в возрасте лет обычно рассматривают не продолжительность жизни , а остаточное время жизни . Распределение случайной величины – это условное распределение величины при условии, что :

Соответствующая функция выживания определяется формулой

,

так что плотность случайной величины может быть найдена по формуле:

, .

Интенсивность смертности, связанная с величиной , есть

.

Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время для человека, которому сейчас лет, равна интенсивности смертности в возрасте для новорожденного. Другими словами, интенсивность смертности в данном возрасте не зависит от уже прожитых лет.

Основные величины, связанные с остаточным временем жизни

Вероятность (т.е. вероятность смерти человека возраста в течение ближайших лет) в актуарной математике обозначается . Тогда

Дополнительная вероятность (т.е. вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере лет) в актуарной математике обозначается :

Случай играет особую практическую роль и встречается наиболее часто. Для него принято опускать передний индекс у переменных и . Таким образом, символ обозначает вероятность того, что человек в возрасте лет умрет в течение ближайшего года, а символ обозначает вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по крайней мере один год. Тогда

,

С помощью вероятностей можно вычислить и более общие вероятности :

.

Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что человек возраста проживет еще лет, но умрет на протяжении последующих лет, т.е. . Его вероятность обозначается :

.

Случай представляет особый интерес для приложений к страхованию жизни. Как обычно соответствующий индекс принято опускать. Таким образом, – это вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще лет, но умрет на протяжении следующего года.

.

Макрохарактеристики остаточного времени жизни

Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте лет обозначается и называется полной ожидаемой продолжительностью жизни:

.

Второй момент можно найти по формуле:

.

Среднее остаточное время жизни можно выразить и через другие характеристики времени жизни. Для этого рассмотрим группу из новорожденных и обозначим через суммарное число лет, прожитых представителями этой группы в возрасте и более. Таким образом, если время жизни i-того представителя группы, , меньше чем , его вклад в сумму равен нулю. Если же , то вклад в сумму равен .

Тогда

.

Среднее значение величины , где – некоторая положительная константа, называют частичной средней продолжительностью жизни и обозначают .