Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Элементы финансовой математики

Эффективная процентная ставка

Рассмотрим следующую простейшую ситуацию.

Предположим, что в момент времени мы даем в долг сумму (например, кладем на свой счет в банке, вносим плату за страховку, перечисляем пенсионный взнос в пенсионный фонд и т.д.). Спустя время мы можем рассчитывать на определенный доход от инвестирования принадлежащего нам капитала . Сумма является наградой за то, что наши средства использовались другим человеком. Обычно ее измеряют в относительных единицах; величина называется эффективной процентной ставкой за рассматриваемый промежуток времени .

Простые и составные проценты

Предположим теперь, что сумма может инвестироваться на два последовательных промежутка времени. Пусть – эффективная процентная ставка на первом промежутке, – соответственно на втором. Существуют две схемы исчисления дохода на объединенном интервале:

1. Принцип простых процентов предполагает, что проценты начисляются только на основной капитал. Поэтому . Соответственно, итоговая процентная ставка .

2. Принцип сложных процентов предполагает, что проценты начисляются не только на основной капитал, но и на уже заработанные проценты. Поэтому в конце второго интервала времени основной капитал вырастет до величины

.

Соответственно, итоговая процентная ставка определяется из условия , т.е. .

Принцип сложных процентов фактически означает, что инвестор может свободно распоряжаться своими средствами. Поэтому в актуарной математике принято использовать принцип сложных процентов при определении дохода от вложенных средств.

Процентные ставки, используемые в большинстве расчетов в актуарной математике, определяются, исходя из консервативных оценок доходности реальных будущих инвестиций страховщика. Они намного ниже реальных процентных ставок, предлагаемых рынком для различных видов инвестиционных проектов. Их значение заключается в том, чтобы как-нибудь учесть рост денег, внесенных в качестве платы за страховое покрытие. Поэтому их называют техническими процентными ставками. На самом деле страховая компания зарабатывает гораздо большие проценты; более того, это один из самых (если не самый главный) источник дохода страховщика.

Накопления

Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как правило, один год) и предположим, что процентная ставка за этот промежуток равна . Допустим, что в момент сумма инвестируется на единиц времени. По принципу сложных процентов в момент времени капитал превратится в сумму . Величина называется коэффициентом накопления за время .

Интенсивность процентов

Интенсивность процентов – это мгновенная относительная скорость накопления средств

.

Поскольку , то коэффициент накопления за время можно записать в виде

.

Интенсивность процентов удобно использовать для изучения накоплений в случае изменяющихся процентных ставок. В этом случае и

.

Номинальные процентные ставки

Рассмотрим промежуток времени длиной . Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее часто встречаются случаи: (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу); (квартал); (полугодие).

Эффективная процентная ставка за этот промежуток времени равна

.

Однако в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств на промежутке не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой , а так называемой номинальной процентной ставкой

.

Иногда величину называют номинальной процентной ставкой выплачиваемой (начисляемой) с частотой .