Читайте также:
|
|
Обычно люди ведут счет прожитых лет целыми годами, а страховые компании обычно заключают договоры страхования жизни на 1, 3, 5 и т.п. целое число лет. Поэтому естественно рассмотреть наряду с обычной продолжительностью жизни ее целую часть
. Таким образом, если, например,
18 лет 9 месяцев = 18.75 лет, то
18 лет. Величина
называется округленной (урезанной) остаточной продолжительностью жизни. Следует подчеркнуть, что округление производится не до ближайшего целого, а всегда с недостатком (т.е. до ближайшего целого, меньшего, чем данное дробное число). В этом смысле английский термин curtate (“урезанная”) точнее, чем принятый нами термин “округленная”.
Распределение округленного времени жизни
Поскольку случайная величина принимает только целые значения, ее стохастическая природа характеризуется (как это принято в теории вероятностей) не функцией распределения, а распределением, т.е. набором вероятностей
,
0, 1, 2,…
Так как событие эквивалентно тому, что
верно равенство:
Вероятность в силу непрерывности случайной величины
равна вероятности
, которая была обозначена как
. Выразим распределение случайной величины
в терминах функции выживания:
и в терминах интенсивности смертности:
Функция распределения округленного времени жизни достаточно просто связана с функцией распределения точного времени жизни
. А именно, пусть
, где
(так что
).
Тогда
.
Ранее было рассмотрено остаточное время жизни и исходная случайная величина теории страхования – продолжительность жизни
. Однако поскольку
, то, в частности, распределение округленного времени жизни
может быть определено по формуле:
или
.
Зависимость от
приближенно может быть описана с помощью
, где
– плотность распределения случайной величины
. Таким образом, кривая смертей дает представление и о распределении округленного времени жизни.
Среднее округленное время жизни и его дисперсия
Математическое ожидание случайной величины называется средней округленной продолжительностью жизни и обозначается
:
В соответствии с общей формулой для дискретной случайной величины
Тогда в терминах функции выживания:
.
Подобным же образом для второго момента , который необходим для расчета
, получим:
Более интересной является рекуррентная формула
,
откуда вытекает следующее соотношение, связывающее среднее округленное время жизни и вероятность смерти в течение ближайшего года:
.
Для доказательства этого соотношения прежде всего отметим, что
.
Но
.
Поэтому
Сумма равна
Итак,
откуда:
,
что равносильно доказываемому соотношению.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 67 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |