Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приближенный расчет вероятности разорения

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем, что при росте вероятность часто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобы определенным образом менялось вместе с ), который можно применять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и удовлетворяет практические потребности. Основным является нормальное (или гауссовское) приближение.

Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей. В простейшей формулировке эта теория выглядит следующим образом:

если случайные величин независимы и одинаково распределены со средним и дисперсией , то при функция распределения центрированной и нормированной суммы

имеет предел, равный

Поэтому, если число слагаемых велико, то можно написать приближенное равенство:

или, что то же самое,

Существуют многочисленные обобщения центральной теоремы на случаи, когда слагаемые , имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону от изучаемого предмета. Поэтому мы ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы имело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо гауссовское приближение для нахождения вероятности

Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения.

Функция при росте от до возрастает от 0 до 1 и непрерывна. Поэтому она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины . Это распределение называется гауссовским, или нормальным. Оно не зависит от каких-либо параметров и детально изучено в теории вероятностей. Существуют подробные таблицы как для функции распределения , так и для плотности.

Значения в наиболее интересном диапазоне приведены в следующей таблице:

1.0	15.87%	2.0	2.28%	3.0	0.135%
1.1	13.57%	2.1	1.79%	3.1	0.097%
1.2	11.51%	2.2	1.39%	3.2	0.069%
1.3	9.68%	2.3	1.07%	3.3	0.048%
1.4	8.08%	2.4	0.82%	3.4	0.034%
1.5	6.68%	2.5	0.62%	3.5	0.023%
1.6	5.48%	2.6	0.47%	3.6	0.020%
1.7	4.46%	2.7	0.35%	3.7	0.011%
1.8	3.59%	2.8	0.26%	3.8	0.007%
1.9	2.87%	2.9	0.19%	3.9	0.005%

Полезно также иметь таблицу квантилей , отвечающих достаточно малой вероятности разорения :