Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Принцип Ферма

Этот принцип также может быть положен в основу геометрической оптики (вместо перечисленных трех законов).

Рассмотрим путь 1-2, который проходит луч света в неоднородной среде (рисунок). Участок пути ds свет проходит за время dt = n ds / c, и время t для прохождения светом пути 1-2 равно

,

где называют оптической длиной пути. В однородной среде L = ns, где s - геометрический путь. Оптическая длина пути L эквивалентна по времени распространения света в вакууме, т.е. время распространения света на пути s в веществе со скоростью v такое же, как в вакууме на пути L со скоростью с.

Принцип Ферма утверждает:

свет распространяется по такому пути, оптическая длина пути которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути должна быть экстремальной, т.е. либо минимальной, либо максимальной. либо стационарной - одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказываются таухотронными (требующими для своего прохождения одинакового времени).

Убедимся в том, что из принципа Ферма действительно следуют все три закона геометрической оптики.

1. Пусть свет попадает из точки 1 в точку 2 (рисунок). Здесь возможны сразу два случая: прямой путь 1-2 и при отражении от границы раздела двух однородных сред на пути 1 О 2. Среда, в которой распространяется луч, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины.

Из рисунка видно, что прямой путь 1-2 действительно минимальный: ближайшие к нему будут длиннее. То же можно сказать и о пути 1 О 2. он оказывается тоже минимальным при = q (вспомогательная точка - это зеркальное изображение точки 1). Длина любого из ближайших путей, например, 1 2 = 2, будет, как видно из рисунка, больше.

2. Получим с помощью принципа Ферма закон преломления света на границе раздела двух однородных прозрачных сред с показателями преломления n ₁ и n ₂.

Для этого найдем точку С (рисунок). в которой должен преломиться луч. распространяясь от точки А к точке В, чтобы оптическая длина пути L была экстремальной. Пусть отрезок , тогда, как видно из рисунка,

Продифференцируем это выражение по х и приравняем производную нулю (условие экстремума):

Множители при n ₁ и n ₂ равны соответственно sinq₁ и sinq₂. Получаем:

Более точная формулировка принципа Ферма заключается в следующем:

луч, проходящий по траектории, обладает тем свойством, что любое малое изменение пути, расположения точки падения луча на зеркало, или формы кривой, или какие-либо иные изменения не приводят в первом порядке к изменению времени прохождения; изменение времени происходит только во втором порядке. Другими словами, согласно этому принципу, свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения.

С принципом Ферма связана трудность, с которой трудно примириться. Вместо причинной обусловленности, когда из одного нашего действия вытекает другое и т.д., этот принцип говорит следующее: в данной ситуации свет выбирает путь с наименьшим, или экстремальным временем. Но как удается свету выбирать свой путь? Вынюхивает он, что ли соседние пути и сравнивает их потом друг с другом? В некотором смысле так и происходит. Эту способность света нельзя понять в рамках геометрической оптики, поскольку она связана с понятием длины волны; длина волны, грубо говоря, есть тот отрезок впереди лежащего пути, который свет может «почувствовать» и сравнить с соседними путями.

Этот факт можно продемонстрировать на опытах по дифракции света. Если, с помощью преград, мешать свету выбирать путь, например, пропускать его через узкую щель, то наблюдаются отклонения от геометрической оптики. Оказываются годными уже многие пути и свет распространяется по каждому из них, попадая в область геометрической тени.

Квантовый механизм

Дадим грубую картину распространения света с квантовомеханической точки зрения. Исследуя свет на пути 1 О 2, можно обнаружить, что он вовсе не представляет собой волны. Лучи света, оказывается, состоят из фотонов, которые можно реально зарегистрировать с помощью фотонного счетчика. Интенсивность света пропорциональна среднему числу фотонов, пролетающему в одну секунду, а нас интересует вероятность попадания фотона из 1 в 2 при отражении от зеркала. Правило вычисления этой вероятности заключается в следующем. Выберем какой-нибудь путь и найдем время на этом пути; затем образуем комплексное число или нарисуем маленький комплексный вектор r е^{i q}, где угол q пропорционален времени. Число оборотов вектора в секунду - это частота света. Возьмем теперь другой путь, и пусть он занимает другое время; тогда соответствующий вектор повернется на угол, отличный от первого. Переберем все возможные пути и сложим векторы для каждого из них, тогда квадрат длины суммарного вектора определит вероятность прохождения фотона из начальной точки в конечную.

Покажем теперь, что отсюда следует принцип наименьшего времени для зеркала. Возьмем все возможные пути. Получится спираль, изображенная на рисунке. Почти весь вклад в суммарную вероятность вносит область, где векторы идут в одном направлении, т.е. пути, которые окружают точку С, соответствующую равенству углов падения и отражения. Вклады от путей с разными временами взаимно сокращаются.