Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Колебательный контур. Гармонические колебания

Электромагнитные возмущения распространяются в пространстве и в различных радиотехнических устройствах со скоростью света с = = 3 • 10⁸ м/с. Расстояние l = 3 м электромагнитное возмущение пробега­ет за время τ = l/с = 10 ^-8 с. Поэтому мгновенные значения силы тока во всех точках однородного участка цепи практически одинаковы. Такие токи называют квазистационарными. Мгновенные значения квазистаци­онарных токов подчиняются закону Ома и правилам Кирхгофа. Одно из правил Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма падений напря­жения в замкнутой электрической цепи (контуре) равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этой цепи:

åU = åe.(9.1)

Электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индук­тивности, называется колебательным контуром (рис. 9.1). Сила тока I, текущего в контуре, а также заряд Q и напряжение U на конденсаторе изменяются с течением времени: I = I(t), Q = Q(t) и U = U(t). Найдем эти функции. Согласно правилу Кирхгофа (9.1) падение напряжения на конденсаторе U равно ЭДС в катушке индуктивности:

U = e_L. (9.2)

Напряжение на конденсаторе пропорцио­нально заряду на его обкладках:

U=Q/C, (9.3)

а ЭДС самоиндукции в катушке определя­ется формулой

e_L = -LdI/dt (9.4)

Рис. 9.1. Колебательный контур

Подставив (9.3) и (9.4) в равенство (9.2), получим уравнение

Q/C = -LdI/dt (9.5)

Сила тока и заряд на конденсаторе связаны соотношением

I = dQ/dt (9.6)

Выразим из соотношений (9.3) и (9.6) заряд на конденсаторе и силу тока в контуре через напряжение между обкладками конденсатора:

Q = CU, (9.7)

I = CdU/dt (9.8)

Подстановка этих выражений в равенство (9.5) после элементарных пре­образований приводит к уравнению

■

d²U

(9.9)

d²U/dt² + ω₀U = 0, (9.9)

ω₀ =1/√LC (9.10)

Уравнение (9.9) есть дифференциальное уравнение гармонических коле­баний. Нетрудно доказать, что общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

U(t) = U_m cos ( ω₀ t + a), (9.11)

де U_m - амплитуда напряжения, а - начальная фаза. Величина (9.10) называется собственной частотой электромагнитных колебаний в кон­туре. Функция (9.11) описывает гармонические колебания напряжения на обкладках конденсатора. Амплитуда U_m и начальная фаза а этих ко­лебаний могут быть найдены из начальных условий. Период колебаний

T = 2p/ω₀ = 2p√ LC. (9.12)

Это соотношение называется формулой Томсона.

Зная зависимость (9.11) напряжения на конденсаторе от времени t, по формулам (9.7) и (9.8) можно установить, как изменяются со временем заряд на обкладках конденсатора и сила тока в контуре:

Q(t) = Q_m cos ( ω₀ t + a), (9.13)

I(t) =- I_m sin ( ω₀ t + a), (9.14)

где

Q_m = CU_m, I_m = Q_m ω₀

- амплитуды заряда и тока соответственно.

Имея в виду формулу (9.6), умножим левую часть равенства (9.5) на производную Q, а правую - на I. Полученное уравнение

(Q/C)dQ/dt = -LIdI/dt

жно преобразовать к виду

(9.16)

Изэтого равенства следует, что выражение в круглых скобках не изме­няется с течением времени: (9.17) (9.15)

Первое слагаемое в левой части этого равенства есть энергия электриче­ского поля в заряженном конденсаторе

W_e = (9.18)

а второе

W_m =

(9.19)

- энергия магнитного поля в катушке. Равенство (9.17) выражает собой закон сохранения энергии, согласно которому полная энергия в контуре, равная сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке, со временем не изменяется.

Задача 1. Доказать, что функция (9.11) является решением уравнения (9.9).

Задача 2. Найти зависимости от времени энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке. Доказать, что их сумма со временем не изменяется.

Механические и электромагнитные колебания.

- уравнение гармонических колебаний.

,

- полная энергия колеблющейся точки.

Система.	Период	Цикл. частота	Уравнение
Математический маятник.
Пружинный маятник.
Физический маятник.
Колебательный контур.

Сложение колебаний.

, при w₁=w₂

- период пульсации.

Затухающие колебания.

,

Переменный ток.

Z=Z_R+Z_L+Z_C - полный импеданс цепи.

Z_R=R, Z_L=iWL,

- модуль полного импеданса цепи.

, - действующие значения.

Упругие волны.

Скорость волны в газе: , в твердом теле:

,

уравнение плоской волны:

Отражение
Преломление		Dj=0 lim aпад=arcsin(c2/c1)

Интерференция: ,

фазовая v и групповая u скорости: , ,

- эффект Доплера.

Электромагнитные волны.

- фазовая скорость