Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пример задачи на численность популяции

Рассмотрим микробиологическую задачу. Установим закон изменения со временем (t) численности бактерий (n), помещенных в питательную среду.

Для составления дифференциального уравнения, отражающего существование бактерий в этих условиях, необходим некоторый факт, который следует записать в математической форме. На основании экспериментальных данных и общих соображений таким фактом может служить утверждение: “скорость размножения бактерий (математически ) пропорциональна их числу (n) в данный момент времени”.

Таким образом, необходимое дифференциальное уравнение имеет вид:

(1)

где к - доступный экспериментальному определения коэффициент пропорциональности, зависящий от вида бактерий и параметров среды их обитания. Дополнительные данные, необходимые для решения задачи следуют из начального условия: при t = 0, n = n 0, т. е. в начальный момент времени количество бактерий считается известным и равным n 0.

Для решения уравнения (1) произведем разделение переменных и последующее интегрирование:

(2)

Произвольную постоянную в уравнении (2) удобно представить в виде ln С. Из начального условия: C = n 0.

Решая логарифмическое уравнение (2) с учетом начального условия, получим искомый закон изменения числа бактерий со временем:

. (3)

Произведем некоторый анализрезультата:

1) Зная коэффициент к и начальное число бактерий n0, легко определить их число в любой момент времени t.

2) Прирост бактериальной массы определяется через коэффициент к условиями среды обитания бактерий. Чем больше значение к, тем быстрее увеличивается число бактерий

Рис.3

(см. рис.3). Если существуют факторы, препятствующие размножению бактерий (повышенная температура, ионизирующие излучения и др.), то коэффициент к в формулах (1) - (3) уменьшается и может принять отрицательное значение - в этом случае будет наблюдаться гибель бактерий.

3) С некоторым риском можно попытаться придать полученному для бактерий результату (3) большую общность и сформулировать утверждение: «любой биологический вид, находясь в оптимальных для своего существования условиях, экспоненциально увеличивает свою численность со временем». Примеры справедливости этого утверждения можно наблюдатьТак, кролики, завезенные в Австралию, где практически нет хищников, которые бы ими питались, увеличили свое число в соответствии с формулой (3) и стали представлять серьезную опасность для сельского хозяйства.

2.2. Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.
Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () — число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () — средняя масса особи возраста , а М ( ) — био­масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]
Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность
M( + Δ ) – M(),
где Δ >0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от до + Δ , удовлетворяет неравенствам:
N () Р ()Δ ≤ M ( + Δ ) – M () ≤ N()P()Δ ,
где N () Р () — наименьшее, а - N()P() — наибольшее значения функции N ( ) Р ( ) на отрезке [ , + Δ ]. Учитывая, что Δ >0, из неравенств N () Р ()Δ ≤ M ( + Δ ) – M () ≤ N()P()Δ ,
имеем:
N () Р () ≤ ≤ N()P()
Из непрерывности функции N () Р () (ее непрерывность следует из непрерывности N () и Р ()) следует, что
[ N () Р ()] = [N()P()] = N ( ) Р ( )
Поэтому будем иметь:
= N ( ) Р ( )
или
= N ( ) Р ( )
Следовательно, биомасса М () является перво­образной для N ( ) Р ( ). Отсюда:
M(T) – M(0) = N () Р ()dt

где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:
М(Т)= N () Р ()dt

2.3. Средняя длина пролета.

В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что Rне слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.
Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через.[1]
Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и АС В. Иными словами, это среднее зна­чение функции f (х) — f (х), где у = f (х) — уравнение верхней дуги, а у = f₂(х) — уравнение нижней дуги, т. е.

L =

или
L =.
Так как

равен площади криволинейной трапеции аАСВb), а

равен площади криволинейной трапеции аАС Вb, то их разность равна площади круга, т. е. R². Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = .
, получим:
L = = R.

Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Бермантт А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - М.: Наука, 1971. - 736с.

3. Фихтенгольц Том 2.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М.:Наука, 1985.-560с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – M.: Айрис – пресс, 2003. – 288 c.

6. Бродский А.К. Краткий курс общей экологии – СПб.: ДЕАН, 1999.

7. Ерофеев Б.В. Экологическое право - М.: Новый юрист, 1988.