Матричное представление уравнений Колмогорова.

- матрица интенсивностей переходов, каждый элемент которой есть коэффициент при одном из слагаемых системы уравнений (4.1).

Автоматизированная запись может быть произведена на основе предварительного формирования матрицы интенсивностей l размерностью (N+1)*(N+1). Общий ее вид будет следующий:

= (4.9)

Для примера рассмотрим модель с N=3. Граф данной модели показан на рисунке 4.7.

Систему уравнений для нее можно получить из записи в матричном виде:

Р0´ - 3λ 3λ 0 0

Р1´ = Р0 Р1 Р2 Р3 × µ -(µ+2λ) 2λ 0 (4.10)

Р2´ 0 µ -(µ+λ) λ

Р3´ 0 0 µ -µ

Установим правило построения матрицы по графу. Пронумеруем столбцы матрицы от 0 до 3 (в общем случае до N) сверху вниз, а строки - слева направо (4.11). Матрица заполняется построчно, начиная с нулевой строки. Элементы главной диагонали записываются в последнюю очередь. Отыскиваем прямые связи из нулевой вершины в каждую другую и, при наличии, записываем в матрицу на пересечении нулевой строки и столбца с номером той вершины, с которой связана нулевая, соответствующую связи интенсивность. При отсутствии связи записываем 0. Записываем диагональный элемент из условия, что сумма элементов строки равна нулю, т.е. суммируем все элементы строки и записываем полученную сумму с противоположным знаком на место диагонального элемента текущей строки. Затем отыскиваем связи из первой вершины в каждую другую и повторяем операции до полного заполнения матрицы.

Для примера рассмотрим состояние S₀. Из S₀ в S₁ – 3λ, из S₀ в S₂ – 0, из S₀ в S₃ – 0. Сумма элементов строки равна 3λ, с противоположным знаком (-3λ) записываем диагональный элемент на пересечении строки S₀ и столбца S₀. Аналогично поступаем и с другими строками. В результате получим матрицу , элементы которой приведены в (4.4).

S₀ S₁ S₂ S₃

S₀ -3λ 3λ 0 0

S₁ µ -(µ+2λ) 2λ 0 (4.11)

S₂ 0 µ -(µ+λ) λ

S₃ 0 0 µ -µ

Используя рассмотренное правило, построим матрицу для примера, показанного на рисунке 4.5. Матрица будет иметь следующий вид:

(4.12)

Анализ матриц (4.10 – 4.12) показывает, что они имеют три диагонали – верхнюю, главную и нижнюю. Элементы нижней диагонали все одинаковые и равны µ, элементы верхней равны λ, умноженнойна коэффициент, изменяющийся при переходе к следующей строке от N (в рассматриваемом примере N=4) с шагом единица до единицы.

Зная правило формального синтеза матрицы, можно ее сформировать без рассмотрения графа марковской модели, т.е. автоматизированно. Для этого достаточно задать величины µ, λ и N и реализовать алгоритм, обеспечивающий решение по нижеприведенным формулам.

Разработать граф и записать уравнения для однофазной буферной системы ЭВМ и рабочих станций.

Исходные данные:

Количество рабочих станций N = 3;

Время обдумывания Тобд = 20 с.;

Время решения Треш = 10 с.

Р0´ = µ·Р1 - 3·λ·Р0

Р1´ = 3·λ· Р0 + µ·Р2 – (µ+2·λ)

Р2´ = 2·λ·Р1 + µ· Р3 – (µ+λ)

Р3´ = λ·Р2 - µ· Р3