Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ДВУХ ДИСПЕРСИЙ

Пусть генеральные совокупности исследуемых случайных величин Х и Y распределены нормально: Х~N(m_х,σ_х) и Y~N(m_y,σ_y). Генеральные дисперсии D(X) и D(Y) неизвестны.

Из генеральных совокупностей Х и Y сделаем выборки объемами n₁ и n₂. Найдем соответственно выборочные средние и и «исправленные» дисперсии и .

При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что «исправленные» выборочные дисперсии различаются незначимо, т.е. генеральные дисперсии равны между собой:

Н_о: D(Х)= D(Y).

Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия F, имеющего закон распределения Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁=n₁- 1 и k₂=n₂- 1:

где и – большая и меньшая дисперсия соответственно; k₁ – число степеней свободы большей дисперсии; k₂ – число степеней свободы меньшей дисперсии.

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)≠ D(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2) по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точку в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k₁=n₁- 1 и k₂=n₂- 1.

3) Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)> D(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2) по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точку в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k₁=n₁- 1 и k₂=n₂- 1.

3) Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

ПРИМЕР 2. Технологи механосборочного цеха считают, что применение нового резца позволит сократить время обработки детали. Пять деталей были изготовлены старым резцом: среднее время обработки одной детали составило 3,3 мин с «исправленной» дисперсией – 0,25 мин². Шесть деталей были изготовлены новым резцом: среднее время обработки одной детали составило 2,48 мин с «исправленной» дисперсией – 0,108 мин². При уровне значимости 0,05 проверьте, значимо ли различаются «исправленные» выборочные дисперсии.

РЕШЕНИЕ. По условию n₁ =5; мин; мин.²; n₂ =6; мин; мин², α=0,05.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y). Относительно альтернативной гипотезы возможны два случая: а) D(Х)≠ D(Y).; б) Н₁: D(Х)> D(Y). (так как ). Рассмотрим эти случаи.

а) Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)≠ D(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия :

2) по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точку в зависимости от уровня значимости α= 0,05 и числа степеней свободы k₁=n₁- 1=5-1=4 и k₂=n₂- 1=6-1=5:

3) Если , то нулевая гипотеза принимается.

б) Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)> D(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия

2) по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точку в зависимости от уровня значимости α= 0,02 и числа степеней свободы k₁=n₁- 1=5-1=4 и k₂=n₂- 1=6-1=5:

3) Если , то нулевая гипотеза принимается.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что «исправленные» выборочные дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что генеральные дисперсии равны.