Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий

Если исходная совокупность является такой, что по значениям признака она делится на l групп, то общая дисперсия складывается из частных дисперсий. В таблице 4.2 представлен анализ такой совокупности.

Таблица 4.2 – Распределение исходной совокупности по группам

Значение признака х	Число единиц в j -й группе	Итого
	…	j	…	l
х 1	f 11	…	f 1 j	…	f 1 l
…	…	…	…	…	…	…
хi	fi 1	…	fij	…	fil
…	…	…	…	…	…	…
хk	fk 1	…	fkj	…	fkl
Итого		…		…

Здесь j – номер группы ();

х_i – i -е значение признака ();

f_ij – частота i -го значения признака, число единиц в j -й группе;

m_i – сумма частот i -го значения признака в каждой группе;

n_j – сумма частот всех значений признака в j -й группе;

N – сумма частот всех значений признака во всех группах (объем совокупности).

Сначала вычисляем l частных средних (), т.е. среднее значение признака в каждой группе:

. (4.14)

На основе частных средних определяем общую среднюю () по формулам

или . (4.15)

Общая дисперсия совокупности

. (4.16)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений групповой средней от общей средней:

. (4.17)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, т.е. вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней :

или . (4.18)

Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:

. (4.19)

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки.

Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение, которое известно как правило сложения дисперсий:

. (4.20)

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое – средняя из внутригрупповых дисперсий – измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе – межгрупповая дисперсия – вариацию между средними этих частей.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (η²) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного.

. (4.21)

Эмпирическое корреляционное отношение (η) показывает тесноту связи между исследуемым явлением и группировочным признаком.

. (4.22)

η² и η [0, 1]. (4.23)

Если связь отсутствует, то h = 0. В этом случае межгрупповая дисперсия равна нулю (δ²=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х.

Если связь функциональная, то h = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (). Это означает, что группировочный признак полностью определяет характер изменения изучаемого признака.

Чем больше значение корреляционного отношения приближается к единице, тем полнее (сильнее) корреляционная связь между признаками (таблица 4.3).

Таблица 4.3 Качественная оценка связи между признаками (шкала Чэддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует		0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая		0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая		0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная		η = 1	Функциональная

Пример 4.2. Определим групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным о возрастах труда в двух группах:

хi	Группа ФК-208	Группа М-210	mi	Промежуточные расчеты для определения средних величин
fi 1	fi 2	хi·fi 1	хi·fi 2	хi·mi
Σ	n 1=32	n 2=25	N =57	Σ хi·fi 1=596	Σ хi·fi 2=474	Σ хi· mi =1070
хi	Промежуточные расчеты для определения дисперсий
(хi – )	(хi – )	(хi – )	(хi – )2· fi 1	(хi – )2· fi 2	(хi – )2· mi
	-1,625	-1,96	-1,77	2,64063	3,8416	6,2658
	-0,625	-0,96	-0,77	5,46875	5,5296	11,858
	0,375	0,04	0,23	1,96875	0,0224	1,4812
	1,375	1,04	1,23	3,78125	2,1632	6,0516
	2,375	2,04	2,23	5,64063	4,1616	9,9458
	3,375	3,04	3,23		9,2416	10,4329
Σ				19,5	24,96	46,035

= 18,625 лет; = 18,96 лет;

= 18,77 лет.

Дисперсия 1-й группы (бригады) = 0,609	Дисперсия 2-й группы (бригады) = 0,99
Средняя из групповых дисперсий = 0,78	Межгрупповая дисперсия = 0,028	Общая дисперсия =0,808
Проверка по правилу сложения дисперсий:	= 0,78 +0,028 = 8,08

= 0,0347 = 3,47%.

Общая вариация возраста на 3,47% обусловлена вариацией между группами.

= 0,18.

Значение h = 0,18 показывает очень слабую связь по шкале Чэддока (см. таблицу 5.4) между исследуемым явлением (возрастом) и группировочным признаком (группы).