Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Контрольная работа по математической статистике

Теория вероятности Вариант 9.

· В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу.

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности:

где - общее число всех исходов – количество сочетаний из 18 по 9 команд

- общее число благоприятных исходов, состоящее в том, что из 5 команд экстра-класса, 5 команд экстра класса попадут в одну подгруппу, а остальные 4 команды этой подгруппы будут выбираться из оставшихся 18-5=13 команд. Так как неважно в какую из двух подгрупп попадут 5 команд экстра-класса, то данное число исходов следует умножить на 2.

таким образом,

Ответ:

· В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?

Решение:

Вероятность того, что из трех шаров, которые достали из ящика хотя бы один из них будет белым, можно найти как противоположную вероятность к тому, что все шары в такой ситуации – красные. Воспользуемся классическим определением вероятности:

и тогда противоположная вероятность:

где -общее число всех исходов

- общее число благоприятных исходов

таким образом,

Ответ:

· По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6, при трех – самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит?

Решение:

Обозначим через А- событие, состоящее в том, что самолет сбит

Введем следующие гипотезы:

- событие, состоящее в том, что не произошло ни одного попадания в самолет

- событие, состоящее в том, что произошло одно попадание в самолет

- событие, состоящее в том, что произошло два попадания в самолет

- событие, состоящее в том, что произошло три попадания в самолет

Тогда найдем вероятности данных событий:

,

а также условные вероятности:

, , ,

Тогда воспользуемся формулой полной вероятности:

Ответ:

· Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна от другой три торпеды. Каждая выпущенная торпеда с одинаковой вероятностью, равной 0,7, попадает в цель. X – случайная величина, равная числу попаданий. Составить ее вероятностный ряд, вычислить M(X) и D(X).

Решение:

Случайная величина X- число попаданий торпед в корабль в случае трех выпущенных торпед может принимать следующие значения: 0,1,2,3.

Тогда ряд распределений вероятностей может иметь вид:

X
p	=0,027	=0,189	=0,441	=0,343

Вероятности можно найти, используя схему Бернулли, где p=0,7 и q=1-0,7=0,3

Найдем математическое ожидание по формуле:

Для нахождения дисперсии найдем

Найдем дисперсию:

Ответ: ,

Контрольная работа по математической статистике

Провести обработку экспериментальных данных. По заданной выборке построить вариационный ряд и полигон относительных частот, составить интервальную таблицу, построить гистограмму относительных частот. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию . С доверительной вероятностью найти доверительный интервал для m=M(X) (в случае известной и неизвестной σ).

Выборка:

Вариант 9. 3,8; 4,6; 6,0; 6,5; 4,5; 5,6; 5,1; 5,0; 3,3; 2,5;

5,1; 4,8; 5,4; 4,9; 4,8; 5,1; 4,6; 3,5; 7,3; 5,2;

4,9; 5,3; 4,2; 4,4; 5,2; 3,6; 4,5; 5,3; 3,9; 4,6;

5,4; 4,1; 4,7.

Решение:

Составим дискретный вариационный ряд по данной выборке:

n=33- объем выборки

	2,5	3,3	3,5	3,6	3,8	3,9	4,1	4,2	4,4	4,5	4,6	4,7	4,8	4,9	5,0	5,1	5,2	5,3	5,4	5,6	6,0	6,5	7,3
Относительные частоты	1/33	1/33	1/33	1/33	1/33	1/33	1/33	1/33	1/33	2/33	3/33	1/33	2/33	2/33	1/33	3/33	2/33	2/33	2/33	1/33	1/33	1/33	1/33

Построим полигон относительных частот

Составим интервальный вариационный ряд:

Найдем минимальное и максимальное значение элементов выборки

,

n=33 - объем выборки

тогда рекомендуемое число интервалов интервального вариационного ряда равно:

ширина интервала:

таким образом, можно составить интервальный вариационный ряд

№			Относительные частоты
	2,3-2,7		1/13,2
	2,7-3,1
	3,1-3,5		2/13,2
	3,5-3,9		3/13,2
	3,9-4,3		2/13,2
	4,3-4,7		7/13,2
	4,7-5,1		8/13,2
	5,1-5,5		6/13,2
	5,5-5,9		1/13,2
	5,9-6,3		1/13,2
	6,3-6,7		1/13,2
	6,7-7,1
	7,1-7,5		1/13,2

Построим гистограмму относительных частот:

Найдем выборочное среднее и выборочную дисперсию .

Найдем выборочную дисперсию

тогда дисперсия

Исправленная дисперсия:

Тогда выборочное среднее:

Найдем с доверительной вероятностью доверительный интервал для m=M(X) (в случае известной и неизвестной σ).

оценку математического ожидания можно произвести по формуле: , где m- выборочное среднее, а - отклонение.

, где находится из таблиц значений функции при n=33 и : , тогда , искомая оценка: или

оценку среднего квадратического отклонения можно найти по формуле:

где q можно найти из таблицы

q= 0,588