|
Читайте также: |
Математический анализ – это классическая часть современной геометрии. Развитие именно современной геометрии началось с публикации Н.И.Лобачевского¹ работы «О началах геометрии» 1829, в которой была решена проблема V постулата Евклида о параллельных. Н.И.Лобачевский доказал, что V постулат Евклида не вытекает из остальных постулатов и поэтому возможна другая геометрия. Он назвал её воображаемой, а мы сейчас называем её неевклидовой или геометрией Лобачевского. Первое сообщение было сделано 23.02.1826 г. В Казанском Университете.
Открытие Лобачевского:
(1) Лишило всякого смысла мысль о врождённости геометрических (понятий) объектов;
(2) Заставило глубже вникнуть в смысл геометрических понятий;
(3) Чрезвычайно важным оказалось осознание того факта, что логическая структура геометрии не определяет природы геометрических объектов.
Это означает, что в качестве „точек”, „прямых”, „плоскостей” в разных случаях можно подразумевать разные предметы (объекты).
Каждый конкретный выбор этих объектов даёт конкретную „модель” геометрии.
§2. Множества.
С конца 19 века наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Основателем теорий множеств является немецкий математик Георг Кантор². Кантор говорил: „… под множеством мы понимаем объединение в одно целое определённых объектов, вполне различных, нашей интуиции или нашей мысли”. На рубеже 19-го и 20-го веков на Конгрессе математиков в 1900 году отмечалось, какую огромную пользу принёс теоретико-множественный язык для развития математики.
А в 1902 году Б. Рассел³ обнаружил парадокс, оказавшийся классическим парадоксом, схожим с парадоксом Зенона (например, о брадобрее). Оказалось, что высказывание – “множество всех множеств” – противоречиво.
Если в теории, где-то противоречие, то как же пользоваться её результатами? Опасно! Значит, наивное представление о множестве не так уже просто и безобидно. Высказывание Кантора трудно принять за определение. Поэтому логики подвергают понятие множества тщательному анализу, в который мы углубляться не будем.
Заметим, что в существующих аксиоматических теориях множество определяется как математический объект, обладающий определённым набором свойств. Описание этих свойств составляет аксиоматику. Любая из существующих аксиоматик такова, что она с одной стороны избавляет от известных противоречий наивной теории множеств, а с другой стороны – обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах математики и в первуюочередь в математическом анализе (в широком смысле слова – как современной геометрии).
X – множество; x 
X – x элемент множества X.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 112 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |