Читайте также:
|
|
АВопросы к экзамену по математическому анализу
1) Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию | x – a | < δ, x ≠ a, выполняется неравенство | f (x) – A | < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.
Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|£ c |g(x)| при |x-a|<d, x¹ a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.
Данное определение переносится и на случай, когда x® ¥, x® ±¥.
1. Так как |1/x2| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® ¥;
2. 1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x2 при |x|£ 1.
Запись f=O(1) при x® a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел.
Если у функции в данной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности данной точки функция ограничена
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Перечислим элементарные функции.
1. Р(х) — многочлен, Р(х) = аохп +... + ап.
2. Рациональная функция f(x) = Q(x)/P(x), где Р(х), Q(x) — многочлены.
3. Показательная функция f(x) = ах, а> 0, а ^ 1.
4. Степенная функция f(x) = ха = ealnx.
5. Логарифмическая функция f(x) = loga х, а > 0, а ** 1.
6. Все тригонометрические функции.
7. Всевозможные суперпозиции всех этих функций.
Эти функции называют элементарными потому, что только их рассматривают в рамках элементарной математики. Отвлекаясь от строгих определений и опираясь на основные функциональные свойства, докажем непрерывность показательной функции у = ах и функции у = sin x.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. При любом х0 е R функция у = ах непрерывна.
► Пусть а > 1. Тогда надо доказать, что для любого е > 0 существует 8 = 8(е) > 0 такое, что при всех х с условием \х — хо\ < 5 имеем \ах - ахо\ < е, или, что то же самое, |ах~х° - 1| < га~х«= гг. Заметим, что можно ограничиться случаем гг < 1. В качестве 8(е) возьмем число 8г = S^Sj) > 0 такое, что из неравенства \х - хо\ < 8г следует неравенство \ах~х° - 1| <ег. Далее положим 8(е) = 51(е1) =
8j < х - х0 < 6Х. Так как а > 1, то
"§1
Сначала докажем, что а х — 1 < ег. Положим
Тогда I/Si > N, т. е. 6Х < 1/N. Так как
(1 + е1)ЛГ> 1 + 81Л^>1 + е1-
£i
То
Отсюда следует, что
a5i - 1 < е,, a"5i> —-— = 1 - £l > 1 - s,. 1 1+гх 1+гх J
Окончательно имеем
-Sj < a"5i - 1 < ах~х° - 1 < a5i - 1 < 8j,
следовательно, |ax~x<> - 1| < Sj. Тем самым доказана непрерывность f(x) = ах в точке х0. <
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Функция f(x) = sin x непрерывна в точке х0. ► Вспомним, что Isin х\ < |х|. Тогда имеем
|sm х - sm xo| =
X Х
2sm—— — cos
<2
х - х,
=\х -
Таким образом, для любого е > 0 положим 8(е) = е, и получим |sin х — sin хо| < е V х: \х — хо\ < е.
Следовательно, функция f(x) = sin x непрерывна. < Эти утверждения можно записать так:
sin х = sin x0 + а(х), ах = ах° + Р(х),
где а(х), Р(х) — бесконечно малые функции.
Оказывается, что при х —» 0, т. е. при х0 = 0, имеют место более точные соотношения, которые называются замечательными пределами:
sinx -, ех -1 -, ------ ~ 1, -------- ~ 1.
XX
Эти пределы используются далее для изучения дифференциальных свойств элементарных функций.
2).
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Применение первого замечательного предела на практике
Задание. Найти предел
Решение. Воспользуемся заменой и первым замечательным пределом.
2)
3)
Ответ.
Задание. Найти предел
Решение. Разложим тангенс на синус и косинус и воспользуемся свойствами пределов.
4)
5)
6)
Ответ.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |