Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Применение первого замечательного предела на практике

Читайте также:
  1. Amp;A) консументы первого порядка
  2. I)Однофакторный дисперсионный анализ (выполняется с применением программы «Однофакторный дисперсионный анализ» надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel).
  3. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ О ПРАКТИКЕ ПО СПЕЦИАЛИЗАЦИИ
  4. I. Правила оформления отчета по практике
  5. I. Правила оформления отчета по практике
  6. II. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ К ИССЛЕДОВАНИЮ ПСИХИЧЕСКИХ ОБРАЗОВАНИЙ
  7. II. СТРУКТУРА отчетА по Практике по профилю специальности
  8. II. СТРУКТУРА отчетА по УЧЕБНОЙ Практике
  9. II. Сфера действий правил и их применение
  10. А. В. Кукобако, студент первого курса

АВопросы к экзамену по математическому анализу

1) Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию | xa | < δ, xa, выполняется неравенство | f (x) – A | < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|£ c |g(x)| при |x-a|<d, x¹ a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.

Данное определение переносится и на случай, когда x® ¥, x® ±¥.

1. Так как |1/x2| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® ¥;

2. 1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x2 при |x|£ 1.

Запись f=O(1) при x® a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел.

Если у функции в данной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности данной точки функция ограничена

 

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Перечислим элементарные функции.

1. Р(х) — многочлен, Р(х) = аохп +... + ап.

2. Рациональная функция f(x) = Q(x)/P(x), где Р(х), Q(x) — многочлены.

3. Показательная функция f(x) = ах, а> 0, а ^ 1.

4. Степенная функция f(x) = ха = ealnx.

5. Логарифмическая функция f(x) = loga х, а > 0, а ** 1.

6. Все тригонометрические функции.

7. Всевозможные суперпозиции всех этих функций.

Эти функции называют элементарными потому, что только их рассматривают в рамках элементарной математики. Отвлекаясь от строгих определений и опираясь на основные функциональные свойства, докажем не­прерывность показательной функции у = ах и функции у = sin x.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. При любом х0 е R функция у = ах непрерывна.

► Пусть а > 1. Тогда надо доказать, что для любого е > 0 сущест­вует 8 = 8(е) > 0 такое, что при всех х с условием \х — хо\ < 5 име­ем х - ахо\ < е, или, что то же самое, |ах~х° - 1| < га~х«= гг. Заме­тим, что можно ограничиться случаем гг < 1. В качестве 8(е) возьмем число 8г = S^Sj) > 0 такое, что из неравенства \х - хо\ < 8г следует неравенство х~х° - 1| г. Далее положим 8(е) = 511) =

8j < х - х0 < 6Х. Так как а > 1, то

"§1

Сначала докажем, что а х — 1 < ег. Положим

Тогда I/Si > N, т. е. 6Х < 1/N. Так как

(1 + е1)ЛГ> 1 + 81Л^>1 + е1-

£i

То

Отсюда следует, что

a5i - 1 < е,, a"5i> —-— = 1 - £l > 1 - s,. 1 1+гх 1+гх J

Окончательно имеем

-Sj < a"5i - 1 < ах~х° - 1 < a5i - 1 < 8j,

следовательно, |ax~x<> - 1| < Sj. Тем самым доказана непрерыв­ность f(x) = ах в точке х0. <

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Функция f(x) = sin x непрерывна в точке х0. ► Вспомним, что Isin х\ < |х|. Тогда имеем

|sm х - sm xo| =

X Х

2sm—— cos

<2

х - х,

=\х -

Таким образом, для любого е > 0 положим 8(е) = е, и получим |sin х — sin хо| < е V х: \х — хо\ < е.

Следовательно, функция f(x) = sin x непрерывна. < Эти утверждения можно записать так:

sin х = sin x0 + а(х), ах = ах° + Р(х),

где а(х), Р(х) — бесконечно малые функции.

Оказывается, что при х —» 0, т. е. при х0 = 0, имеют место бо­лее точные соотношения, которые называются замечательными пределами:

sinx -, ех -1 -, ------ ~ 1, -------- ~ 1.

XX

Эти пределы используются далее для изучения дифференциаль­ных свойств элементарных функций.

 

2).

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Применение первого замечательного предела на практике

Задание. Найти предел

Решение. Воспользуемся заменой и первым замечательным пределом.

2)

3)

Ответ.

Задание. Найти предел

Решение. Разложим тангенс на синус и косинус и воспользуемся свойствами пределов.

4)

5)

6)

Ответ.




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав