Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y = f (x), нужно написать уравнение касательной в точке x 0. Из определения производной:

y /(x)=limΔ x →0Δ x Δ y

Δ y = f (x +Δ x)− f (x).

Уравнение касательной к графику функции: y = kx + b (k, b = const). Из геометрического смысла производной: f /(x 0)= tg α= k

Т.к. x 0 и f (x 0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y − f (x 0)= f /(x 0)(x − x 0), или

y = f /(x 0)· x + f (x 0)− f /(x 0)· x 0.

Уравнение нормали

Нормаль - это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tg β= tg (2π−α)= ctg α=1 tg α=1 f /(x 0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tg β1= tg (π−β)=− tg β=−1 f /(x).

Точка (x 0, f (x 0))∈ нормали, уравнение примет вид:

y − f (x 0)=−1 f /(x 0)(x − x 0).

Экономический смысл производной заключается в следующем: производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. С ее помощью решаются важнейшие экономические задачи. На практике производная служит очень хорошим инструментом при решении задач оптимизационного характера: на производительность труда, эластичность спроса и др. Из этого следует вывод, что производная играет важную роль в экономике.

.

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную(постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

дифференцирования общих функций[править | править исходный текст]

(частный случай формулы Лейбница)

— Правило дифференцирования сложной функции