(1) Какие способы задания функции Вы знаете? Каковы достоинства и недостатки каждого способа?
(1) При каком способе задания функции намного легче, чем при других, описать ее свойства, не используя специальных приемов исследования?
(1) В чём различие между заданием функции в явном, неявном и параметрическом видах? Запишите в явном, неявном и параметрическом видах уравнение окружности, симметричной относительно начала декартовой системы координат.
(1) В какой системе координат уравнение окружности имеет самый простой вид? Запишите это уравнение.
(1) Какие функции называют в математическом анализе элементарными, а какие - сложными?
(1) Является ли бесконечно малая величина функцией?
(1) Какая связь существует между графиками взаимно обратных функций?
(1) Каковы необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке?
(1) В чём различие между понятиями монотонности функции в узком и в широком смысле слова?
· (1) Верно ли утверждение: «Непрерывность функции в точке является необходимым и достаточным условием для её дифференцируемости в этой точке»? Если считаете нужным, скорректируйте это утверждение.
(1) Какие из теорем Вейерштрасса, Больцано-Коши, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу описывают свойства непрерывных, а какие – свойства дифференцируемых функций?
(1) Свойства какого множества функций описывают теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу?
(1) Входит ли непрерывность функции f(x) на [ a, b ] в условие первой теоремыБольцано-Коши?
(1) Верно ли утверждение: «Чтобы сравнить две бесконечно малые, вычисляют предел их отношения»?
· (2) Верна ли следующая формулировка правила Лопиталя: «Если предел отношения двух функций существует, то этот же предел имеет отношение производных этих функций»? Если считаете нужным, скорректируйте это утверждение.
(2) Почему графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x?
Приведите примеры взаимно обратных функций и начертите эскизы их графиков.
(2) Какая связь существует между понятиями бесконечно малой и бесконечно большой величин?
(2) Что означает «бесконечная малость» бесконечно малой величины?
(2) Везде ли бесконечно малая величина должна быть бесконечно малой?
(2) Какие теоремы используются при доказательстве теоремы Ролля?
(2) Какое отношение существует между теоремами Ролля и Лагранжа?
(2) Каким образом из теоремы Коши можно получить теорему Лагранжа?
Верно ли утверждение, что в малой окрестности точки, в которой функция обращается в нуль, по разные стороны от этой точки функция имеет разные знаки? Обоснуйте Ваше мнение.
(2) Верно ли утверждение, что в малой окрестности точки, в которой производная функции обращается в нуль, по разные стороны от этой точки производная имеет разные знаки? Обоснуйте Ваше мнение.
(2) Верно ли утверждение, что в малой окрестности точки, в которой вторая производная функции обращается в нуль, по разные стороны от этой точки вторая производная имеет разные знаки? Обоснуйте Ваше мнение.
(2) Верно ли утверждение, что если при переходе через точку меняется знак производной, то в этой точке производная равна нулю? Обоснуйте Ваше мнение.
(2) Верно ли утверждение, что если при переходе через точку функция изменяет знак, то в этой точке значение функции равно нулю? Обоснуйте Ваше мнение.
(2) Верно ли утверждение, что если при переходе через точку меняется характер выгнутости кривой, то в этой точке вторая производная равна нулю? Обоснуйте Ваше мнение.
· (2) Закончите утверждение: «Теорема Лагранжа – это теорема о среднем значении ____________________________________________________________________________»
(3) Перечислите свойства функций, непрерывных на [ a, b ].
(3) Сформулируйте теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши на языке геометрии.
(3) Можно ли доказать теорему Коши, получив по теореме Лагранжа выражения для f(с), g(c) иразделив одно на другое? Обоснуйте ответ.
(3) Верно ли утверждение: «Формула конечных приращений позволяет выразить значение функции f(x), непрерывной на [ a, b ], на одном из концов области определения через её значение на другом конце, а также значение производной этой функции в некоторой внутренней точке отрезка [ a, b ] и его длину»? Если утверждение неверно, поправьте его словесную формулировку. Запишите формулу, соответствующую верному утверждению. Дайте геометрическую интерпретацию этой формулы.
(3) Являются ли равносильными такие определения точки перегиба:
Точка называется точкой перегиба, если при переходе через неё меняется характер выгнутости кривой.
Точка называется точкой перегиба, если кривая в этой точке переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. в этой точке кривая и касательная к ней пересекаются.
Если Вы ответили:
да, то скажите:
1) что Вы понимаете под равносильностью определений,
нет, то скажите:
1) какое из этих определений является более общим,
2) при каком дополнительном условии они являются равносильными.
lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.)
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав