Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Математические модели экономических задач

Определение Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, его составляющие, их характеристики и взаимосвязи между ними.

Определение Экономико-математическая модель представляет собой математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта.

Процесс построения экономико-математических моделей включает следующие этапы:

1) выбор переменных;

2) изучение информационной базы;

3) выражение взаимосвязей между переменными, характеризующими объект, в виде уравнений и неравенств;

4) выбор критерия (от гр. kriterion – мерило, оценка, средство для суждения) оптимальности и выражение его в виде математического соотношения.

Пример. Предприятие располагает двумя видами сырья S₁ и S₂ в количествах 15 и 13 условных единиц и изготавливает из него изделия двух видов П₁ и П₂. Изготовление единицы изделия П₁ требует расхода сырья S₁ в 1 усл.ед., S₂ в 3 усл.ед., а для производства единицы изделия П₂ необходимо сырья S₁ – 3 усл.ед., сырья S₂ - 1 усл.ед. Известна прибыль от реализации одной единицы продукции каждого вида. Для вида П₁ она составляет 2 ден.ед, для вида П₂ – 3 ден.ед. Требуется найти оптимальный план производства продукции, реализация которого обеспечит предприятию максимальную прибыль.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Реализуем первый этап построения экономико-математической модели и выберем переменные.

Обозначим искомые переменные следующим образом:

х₁ - количество единиц продукции вида П₁,

х₂ - количество единиц продукции вида П₂.

Второй этап построения экономико-математической модели включает изучение информационной базы экономического процесса или объекта. Для наглядности процесса моделирования исходную информацию представим в виде таблицы 2.

Таблица 2 – Исходная информация

На третьем этапе построения экономико-математической модели выразим взаимосвязи между переменными, характеризующими объект, в виде уравнений и неравенств.

Для производства всех изделий вида П₁ требуется использовать сырье вида S₁ в количестве условных единиц. Сырье этого вида также расходуется на производство изделий вида П₂ в объеме условных единиц. Общий расход сырья вида S₁ на производство всех изделий определяется выражением . По условию задачи, предприятие располагает только 15 усл. единицами сырья вида S₁. Поскольку расход сырья вида S₁ не может превышать его запаса на предприятии, то должно выполняться неравенство , определяющее ограничение задачи по объему ресурса.

Аналогично получим ограничение задачи по сырью вида S₂. Неравенство примет вид .

По экономическому смыслу переменных (количество выпускаемой продукции не может быть отрицательным), необходимо выполнение условий .

Тогда ограничений по расходу сырья примет вид

Четвертый этап построения экономико-математической модели заключается в выборе критерия оптимальности и выражение его в виде математического соотношения. В нашей задаче критерием оптимальности является прибыль предприятия от реализации выпускаемой продукции. По условию задачи, прибыль от реализации одной единицы изделия вида П₁ составит 2 ден. единиц. Все изделия вида П₁ определяют прибыль предприятия в размере ден. единиц. Аналогично, реализация всех изделий вида П₂ принесет предприятию прибыль в размере ден. единиц. Общая прибыль предприятия определяется выражением .

Итак, экономико-математическая модель данной задачи имеет вид

Эта задача является задачей оптимального использования имеющихся ресурсов. Рассмотрим её формулировку в общем виде.

Задача «об оптимальном использовании ресурсов». Предприятие выпускает n различных изделий: . Для производства этих изделий требуется m различных видов ресурсов: . Ресурсы ограничены. Запас ресурсов на предприятии в планируемый период составляет соответственно усл.ед.

Известны технологические коэффициенты , которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы j-го вида изделия (). Прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j-го вида, равна . В планируемый период все показатели , и предполагаются постоянными. Требуется составить такой план производства продукции, от реализации которого предприятие получит максимальную прибыль.