Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Харьковская академия непрерывного образования

Задания для ІІ этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике в 2013/2014 у.г.

Класс

1. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

2. Пусть а₁, а₂, а₃,... а₂₀₁₃ – некоторые целые числа, b₁, b₂, b₃,... b₂₀₁₃ – те же числа, записанные в другом порядке. Верно ли, что произведение
(a₁ – b₁)(a₂ – b₂)(a₃ – b₃)...(a₂₀₁₃ – b₂₀₁₃) является четным числом. Ответ обоснуйте.

3. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат со стороной AB. Точка D – центр этого квадрата. Найдите величину угла ACD.

4. После того, как Левша подковал блоху, блоха совершает каждый следующий прыжок вдвое короче предыдущего: если первый прыжок был длиной в аршин, то второй – в пол-аршина, третий – в четверть аршина и т. д. Сможет ли блоха побывать в какой-нибудь точке плоскости дважды?

Харківська академія неперервної освіти

Завдання для ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у 2013/2014 н.р.

Клас

1. Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має єдиний розв’язок.

2. Нехай а₁, а₂, а₃,... а₂₀₁₃ – деякі цілі числа, b₁, b₂, b₃,... b₂₀₁₃ – ті ж числа, записані в іншому порядку. Чи є правильним твердження, що добуток
(a₁ – b₁)(a₂ – b₂)(a₃ – b₃)...(a₂₀₁₃ – b₂₀₁₃) є парним числом. Відповідь обґрунтуйте.

3. На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC у зовнішню сторону побудований квадрат зі стороною AB. Точка D – центр цього квадрата. Знайдіть величину кута ACD.

4. Після того, як Лівша підкував блоху, блоха здійснює кожен наступний стрибок удвічі коротший попереднього: якщо перший стрибок був довжиною аршин, то другий –піваршина, третій –чверть аршина і т.д. Чи зможе блоха побувати в який-небудь точці площини двічі?