Читайте также:
|
Для решений многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники.
Параллелепипед имеет шесть граней – его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники, пяти угольники и шестиугольники.
При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра(параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одно и той же грани.
Рассмотрим примеры построения сечений:
Задача 1.
На рёбрах АВ, ВД и СД тетраэдра АВСД отмечены точки М, N и Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью МNP.
Решение:
Построим сначала прямую, по которой плоскость МNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжением отрезка NР и ВС до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей МНР и АВС следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNPQ- искомое сечение.
Рис.3
Если прямые NР и ВС параллельны, то прямая NР параллельна грани АВС, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой МЕ, параллельной прямой NР. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра АС и прямой МЕ.
Рис.4
Задача 2.
Точка М лежит на боковой грани АДВ тетраэдра ДАВС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.
Решение:
Так как секущая плоскость параллельна плоскости АВС, то она параллельна прямым АВ, ВС и АС. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВС. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения.
Проведём через точку М прямую параллельную отрезку АВ, и обозначим буквами Р и О точки пересечения этой прямой с боковыми гранями ДА и ДВ. Затем через точку Р проведём прямую параллельную отрезку АС, и обозначим буквой К точку пересечения этой прямой с ребром ДС. Треугольник РОК- искомое сечение.
Рис.5
Задача 3.
На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В,С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.
Решение:
Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В, С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки АВ, ВС, СА, и получится искомое сечение- треугольник АВС.
Рис.6
Если три данные точки расположены следующим образом:
рис.7
То сначала нужно провести отрезки АВ, ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С – прямую, параллельною АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и Д. Остается провести отрезок ЕД, и искомое сечение – пятиугольник АВСДЕ.
Более трудный случай когда данные точки А, В, С расположены так:
рис.8
В этом случае можно поступить так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в этой же грани, что и прямая АВ, до пересечения этой прямой в точке М. Далее через точку М проведем прямую параллельную прямой ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пресекается с ребрами нижнего основания в точках Е и Ф. Затем через точку Е проведем прямую параллельную прямой АВ, и получим точку Д. Наконец проведем отрезки АФ и СД, и искомое сечение – шестиугольник АВСДЕФ.
Закрепление изученного материала!
1.Тетраэдр- это поверхность, составленная из скольких треугольников!
А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6.
2.Параллелепипед- поверхность составленная из скольких параллелограммов!
А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6.
3.Треугольники из которых состоит тетраэдр называются:
А) гранями, Б) ребрами, В) вершинами.
4.Что называется диагональю параллелепипеда! (отрезок соединяющий противоположные вершины).
5.Сечениями тетраэдра могут быть только…(треугольники, четырехугольники).
6.Сечениями параллелепипеда могут быть только…(треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники).
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 217 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |