Аналитические методы решения задачи

х₁ - х₂ ≥ 0;

x₂ ≥ 1;

3·x₁ + x₂ ≤ 15;

х _j ≥ 0 (j=1, 3).

******************* РЕШЕНИЕ ********************************

Заменив в системе ограничений условно знаки неравенств знаками равенств, получим систему уравнений

x₂ + х₃ = 3 (1)

х₁ - х₂ = 0 (2)

x₂ = 1 (3)

3·x₁ + x₂ = 15 (4)

По полученным уравнениям построим плоскости в системе координат х₁ О х₂ х₃, то есть в трехмерном пространстве. Затем согласно знакам неравенств в системе ограничений выделим соответствующие полуплоскости, которые, пересекаясь, образуют общую часть, из которой с учетом условий неотрицательности переменных выделим область допустимых решений (ОДР) - многогранник – многогранник MSRQPN.

Из начала координат построим вектор-градиент

(1; 3; 3)

Затем через начало координат построим плоскость уровня Фо ┴ Г, соответствующую значению целевой функции Ф_о = 0.

Так как плоскость уровня Ф_оÏОДР, перемещаем ее в направлении к ОДР. Так как направление перемещения плоскости Ф совпадает с положительным направлением вектора Г, то значение целевой функции при этом возрастает. И в точке Q(1; 1; 0) плоскость уровня Ф впервые встречается с ОДР и становится опорной.

Двигаем линию плоскость Ф дальше в том же направлении (в положительном направлении Г), при этом значение целевой функции продолжает расти. В точке N (4; 3; 0) линия уровня в последний раз встречается с ОДР. В этой точке функция Ф достигает наибольшего значения, (удовлетворяющего системе ограничений), то есть Ф_р= maxФ = 4 + 3·3 + 3·0 = 13.

Ответ: minФ = 4 при Х_Q = (1, 1, 0),

maxФ = 13 при Х_N = (4; 3; 0).