Читайте также:
|
Пусть у нас есть множество из трех элементов 
. Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? 
.
Определение. Размещениями множества из 
различных элементов по 
элементов 
называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через 
(от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где 
и 
.
Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно
Доказательство. Пусть у нас есть элементы 
. Пусть 
— возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим 
— первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента 
остается 
способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:
Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение. Искомое число трехполосных флагов:
Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это
Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при 
.
Число всех перестановок из элементов обозначается 
(от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле
3. Основы теории вероятности.
Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.
В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.
вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:
(1)
где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.
Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.
Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших n группируется около некоторой постоянной величины Р(А). Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р – сокращение от английского слова probability – вероятность.
Формально имеем:
(2)
Этот закон называется законом больших чисел.
Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А, события В, или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А, так и события В.
Основные правила исчисления вероятностей событий являются следующие:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
2. Пусть А и В два события, тогда:
(3)
Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей. Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А. Для этого вводится условная вероятность:
Читается так: вероятность наступления А при условии В равняется вероятности пересечения А и В, деленной на вероятность события В.
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В больше нуля.
Это формула умножения вероятностей. Условную вероятность 
называют также апостериорной вероятностью события А – вероятность наступления А после наступления В.
В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.
формула полной вероятности: 
Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.
Формула Байеса Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 101 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |